Он появился на свет 21 декабря 1937 года в Ленинграде. Отцом Лёни был знаменитый режиссёр Александр Файнциммер, так что мальчик с детства был погружён в мир кино. После школы он не раздумывая понёс документы во ВГИК, правда решил взять фамилию матери Ольги Квинихидзе — чтобы не заподозрили в блате. Юноше удалось попасть на курс к прославленным мэтрам Илье Копалину и Григорию Козинцеву.
Ещё студентом Леонид был принят в штат студии документального кино и начал снимать свои первые фильмы. За годы учёбы он выпустил несколько биографических лент о знаменитых людях — французском актёре Марселе Марсо, американском джазовом музыканте Бенни Гудмане, итальянском режиссёре Эдуардо де Филиппо. Получив диплом, Квинихидзе стал работать на «Ленфильме» и уже вскоре снял свою первую полнометражную картину.
Революционная трагикомедия «Первый посетитель» по сценарию Даниила Гранина получила одобрение критиков, в этом фильме свою предпоследнюю роль в кино сыграла Фаина Раневская. После дебютного успеха молодой режиссёр экспериментировал с жанрами — снял биографическую драму «Моабитская тетрадь» о татарском поэте Мусе Джалиле и политический детектив «Миссия в Кабуле». Карьера Квинихидзе развивалась довольно успешно, но все достижения перечеркнула следующая лента.
Научно-фантастический телефильм «Крах инженера Гарина» по мотивам романа Алексея Толстого в прессе сразу окрестили «Крахом режиссёра Квинихидзе». Главного героя в исполнении Олега Борисова называли «бледненьким», а сам фильм нещадно критиковали за несоответствие литературному оригиналу. Казалось, после такого разноса об успешном продолжении карьеры можно и не мечтать — но Леонид Квинихидзе уже следующим своим фильмом сумел реабилитироваться, резко сменив жанр в сторону музыкальной комедии.
Мюзикл «Соломенная шляпка» по мотивам французского водевиля режиссёр задумал ещё во время работы над «Крахом инженера Гарина» и планировал утвердить на главные роли всё тех же Олега Борисова и Нонну Терентьеву. Но после провала предыдущего фильма исполнителей главных ролей было решено заменить. Так в картине появились Андрей Миронов и Людмила Гурченко в блестящей компании Владислава Стржельчика, Зиновия Гердта, Ефима Копеляна, Екатерины Васильевой, Алисы Фрейндлих, Михаила Козакова, Игорь Кваши, Михаила Боярского. Съёмки стали для актёров настоящим праздником с шутками и песнями, а впоследствии царившая на площадке атмосфера передалась через экран и зрителям, которые с первых кадров полюбили лёгкую музыкальную комедию.
После громкого успеха Леонид Квинихидзе продолжил развиваться в приятном и безопасном жанре музыкальной комедии, со временем завоевав звание одного из лучших мастеров отечественного киномюзикла. На протяжении следующих десяти лет экраны вышли его музыкальные фильмы «Небесные ласточки», «Орех Кракатук», «31 июня», «Шляпа», «Мэри Поппинс, до свидания», «Там, где нас нет» — половина из который пополнила золотой фонд советского кино.
Уже в конце 80-х Леонид Квинихидзе решил отойти от музыкального жанра и снять настоящую драму с элементами фантастики. Так на свет появился трогательный фильм «Друг» с Сергеем Шакуровым, повествующий о дружбе пьяницы и говорящей собаки. Следом режиссёр снял мелодраму «Артистка из Грибова» с Ириной Муравьёвой, драмы «Остров» и «Белые ночи» — осовремененную версию одноимённой повести Достоевского. В середине 90-х Квинихидзе взялся за свой первый сериал — в десяти эпизодах телепроекта «Дом» рассказывалось о жизни потомков Раскольникова, Фамусова, Сони Мармеладовой и других персонажей классической русской литературы в новом мире рэкета и криминала.
Последний фильм Леонида Квинихидзе вышел на экраны в 2004 году —многосерийная трагикомедия «Усадьба» повествовала об оставшемся без работы актёре в исполнении Игоря Костолевского, который вынужден заключить сделку с риэлторской конторой. После этого к камере Квинихидзе больше не подходил. Он сосредоточился на театральной деятельности, ставил мюзиклы по всей стране — в Новосибирске, Санкт-Петербурге, Хабаровске.
Личная жизнь популярного режиссёра оказалась не менее насыщенной, чем его творческая биография. Впервые Леонид Квинихидзе женился на балерине Наталии Макаровой, но после гастролей в Великобритании она приняла решение больше не возвращаться на родину. В 70-е годы режиссёр на протяжении нескольких лет жил в гражданском браке с певицей Ириной Понаровской, но эти отношения вскоре сошли на нет. Во втором браке Леонида Квинихидзе с Татьяной Грудзинской на свет появилась дочь София, а в третьем браке со знаменитым хореографом Екатериной Ельфимовой — дочь Мария. С третьей супругой режиссёр обрёл не только семейное счастье, но и построил успешный творческий тандем — они вместе ставили спектакли и гастролировали по стране.
В последнее время Леонид Квинихидзе боролся с тяжёлой болезнью. Режиссёр ушёл из жизни в Санкт-Петербурге 13 марта 2018 года, спустя несколько месяцев после своего 80-летнего юбилея. Похоронили его на Шушарском кладбище рядом с могилой третьей жены.