Задача: В окружность вписан равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны 4, а основание — 1. Найдите длину хорды данной окружности, которая параллельна основанию этого треугольника и делится его боковыми сторонами на три равные части. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Обозначим равные отрезки EM, MN и NF за x. Треугольники △MBN ~ △ABC, поскольку образуют стандартное положение "пирамида" ⇒ MN/AC = BN/BC; x/1 = BN/4 ⇒ BN = 4x. Тогда NC = BC - BN = 4 - 4x. По теореме о произведении отрезков хорд EN * NF = BN * NC ⇒ 2x * x = 4x(4 - 4x) 2x^2 = 16x - 16x^2 18x^2 - 16x = 0 2x(9x - 8) = 0 | (x > 0, поэтому не рассматриваем случай x ≠ 0) 9x - 8 = 0 x = 8/9 Итак, x = 8/9. EF = 3x = 3 * 8/9 = 8/3. Ответ: 8/3. Задача решена.
Задача: В окружность вписан равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны 4, а основание — 1. Найдите длину хорды данной окружности, которая параллельна основанию этого треугольника и делится его боковыми сторонами на три равные части.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Обозначим равные отрезки EM, MN и NF за x. Треугольники △MBN ~ △ABC, поскольку образуют стандартное положение "пирамида" ⇒ MN/AC = BN/BC; x/1 = BN/4 ⇒ BN = 4x. Тогда NC = BC - BN = 4 - 4x. По теореме о произведении отрезков хорд EN * NF = BN * NC ⇒
2x * x = 4x(4 - 4x)
2x^2 = 16x - 16x^2
18x^2 - 16x = 0
2x(9x - 8) = 0 | (x > 0, поэтому не рассматриваем случай x ≠ 0)
9x - 8 = 0
x = 8/9
Итак, x = 8/9. EF = 3x = 3 * 8/9 = 8/3.
Ответ: 8/3.
Задача решена.