Всем привет! В прошлом году у меня получалось выдерживать ритм и публиковать по задаче в неделю. Надеюсь, в следующем году получится не хуже. Поздравляю всех читателей с новым годом!
Сегодня принес вам интересную олимпиадную задачку — функциональное уравнение:
Нам нужно найти значение неизвестной функции в заданной точке. Давайте попробуем подставить 0 в данное уравнение:
Кроме того подставим значение 1, оно нам тоже понадобится:
Запомним эти значения. Полученные выражения всё еще далеки от интересующего нас значения. Давайте подставим вместо x в исходное уравнение f(x):
В правой части есть наша функция "в чистом" виде. Давайте еще раз подставим ноль:
В правой части мы имеем интересующее нас значение, а в левой части есть выражение, значение которого мы знаем:
Отлично, теперь нам остается найти значение функции в точке 1 и дело будет сделано. Вернемся на несколько шагов назад и подставим единицу:
В левой части опять знакомая картина:
Преобразуем:
Полный квадрат! Тут всё легко:
Итак, мы нашли одно значение функции (жаль не то, которое нам нужно):
Подставим полученное значение в уравнение, содержащие f(0):
Преобразуем:
Вынесем общий множитель:
Итак, значение в точке 0 может быть:
Рассмотрим оба значения:
В первом случае уравнения вступают в противоречие. Значит, это не наш случай. Второе значение:
Здесь всё верно! Тогда ответ:
Подписывайтесь на канал, пишите комментарии, делитесь с коллегами и друзьями: математики будет много! Спасибо за внимание!