Задача: В египетский треугольник вписали окружность. Точку её касания с большим катетом соединили отрезком с противоположной вершиной. В каком отношении проведённый отрезок делится данной окружностью?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме о длине отрезка касательной AK = (AB + AC - BC)/2 = (3 + 5 - 4)/2 = 4/2 = 2. Тогда по теореме о квадрате отрезка касательной AK^2 = AM * AN ⇒ AM * AN = 4.
BK = AB - AK = 3 - 2 = 1. По теореме об отрезках касательных к окружности BN = BK = 1. Рассмотрим △ABN: по теореме Пифагора AN^2 = AB^2 + BN^2 ⇒
AN = √(3^2 + 1^2) = √10
Итак, AN = √10 и AM * AN = 4 ⇒ AM = 4/√10 = 4√10/10 = 2√10/5. MN = AN - AM = √10 - 2√10/5 = 3√10/5 ⇒ AM : MN = 2√10/5 : 3√10/5 = 2 : 3.
Ответ: 2 : 3.
Задача решена.