Задача: Окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке P, а продолжений сторон BA и BC в точках Q и R соответственно. Докажите, что прямые AR, BP, CQ пересекаются в одной точке.
(+ доказательство теоремы Чевы в случае внешней точки)
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Разобьём решение задачи на 2 части, где первая часть - доказательство теоремы Чевы в случае, когда 2 точки лежат на продолжениях сторон треугольника, а третья - на его стороне.
Часть I
На продолжении сторон AB и BC проведём чевианы AA' и CC' соответственно. Также проведём чевиану BB' так, что прямая BB' проходит через O - точку пересечения чевиан AA' и CC'.
Необходимость. Сначала докажем необходимость: если чевианы AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке, то должно выполняться равенство AC'/C'B * BA'/A'C * CB'/B'A = 1. (см рисунок)
Рассмотрим △ACC' и прямую BO: по теореме Менелая AB'/B'C * CO/OC' * C'B/BA = 1. Рассмотрим △CC'B и прямую AA': по теореме Менелая CO/OC' * C'A/AB * BA'/A'C = 1. Из первого и второго выражении выразим OC'/CO:
- OC'/CO = AB'/B'C * C'B/BA
- OC'/CO = C'A/AB * BA'/A'C
Приравняем правые части выражении:
AB'/B'C * C'B/BA = C'A/AB * BA'/A'C | *AB
AB'/B'C * C'B = C'A * BA'/A'C
C'A/C'B * BA'/A'C * B'C/AB' = 1 | (приведём к стандартному виду)
AC'/C'B * BA'/A'C * CB'/B'A = 1
Что и требовалось доказать.
Достаточность. Теперь докажем достаточность: если выполняется равенство AC'/C'B * BA'/A'C * CB'/B'A = 1, то чевианы AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке.
Допустим, что чевианы AA', BB' и CC' не пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения чевиан AA' и CC' как O. Проведём чевиану BB'' так, чтобы прямая BB'' содержала точку O (см рисунок)
Тогда по теореме Чевы AC'/C'B * BA'/A'C * CB''/B''A = 1. Однако поскольку по условию AC'/C'B * BA'/A'C * CB'/B'A = 1, то CB''/B''A = CB'/B'A ⇒ точки B' и B'' делят отрезок AC в одинаковом отношении ⇒ точки совпадают. Тогда наше предположение было неверным ⇒ чевианы AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.
Часть II
Приступим к выполнению задачи. По теореме Чевы, для того чтобы прямые AR, BP, CQ пересекались в одной точке, должно выполняться равенство AQ/QB * BR/RC * CP/PA = 1. По теореме об отрезках касательных BQ = BR, AQ = AP и CR = CP.
Тогда AQ/QB * BR/RC * CP/PA = AQ/PA * BR/QB * CP/RC = 1 * 1 * 1 = 1 ⇒ прямые AR, BP, CQ пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.