Задача: Основания трапеции равны a и b. Через середину её боковой стороны и точку пересечения диагоналей проведена прямая. В каком отношении она делит другую боковую сторону трапеции?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По св-у трапеции диагонали точкой пересечения делятся на отрезки пропорциональные основания трапеции ⇒ BO/OD = CO/AO = a/b. Продолжим KN до пересечения с прямой AD в точке M (см рисунок)
Рассмотрим △ABD: по теореме Менелая AK/BK * BO/OD * DM/AM = 1 ⇒
a/b * DM/AM = 1
DM/AM = b/a
Рассмотрим △ACD: по теореме Менелая AO/OC * CN/DN * DM/AM = 1 ⇒
b/a * CN/DN * b/a = 1
CN/DN * (b^2)/(a^2) = 1
CN/DN = (a^2)/(b^2)
⇒ CN : DN = a^2 : b^2.
Ответ: a^2 : b^2.
Задача решена.