В интернете полно задач об определении возраста (возрастов) людей. Наверняка, вам они неоднократно попадались, вот одна из классических:
Сейчас мой сын моложе меня втрое. Но пять лет назад он был моложе меня в четыре раза. Сколько ему лет?
Разумеется, эта задача и подобные ей родились не в глубинах интернета – они на просторы сети пришли из книг русского математика и популяризатора науки Якова Исидоровича Перельмана (1882–1942), английского классика занимательной математики Генри Эрнста Дьюдени (1857–1930), американского мастера головоломок Сэма Лойда (1841–1911) и более поздних изданий. Причём наибольшее число таких задач придумал именно Г. Дьюдени, а Я. И. Перельман признавался, что идеи и сами задачи заимствовал именно у английского автора.
Но это не слишком интересное вступление, которое нужно лишь для восстановления справедливости. Потому что в интернете часто нет указаний на источники, а сами эти задачи стали чем-то вроде «народных сказок» или фольклора, который самозарождается внутри глубинного народа. Но в отношении задач это не так – все они имеют авторов, и почти все они были придуманы примерно в первой трети XX века.
Итак, для начала посмотрим на несколько наиболее интересных задач, которые встречаются в сборниках Я. И. Перельмана, Г. Дьюдени и С. Лойда (источник указан в названиях задач). Причём задачи даны именно в том виде (за редким исключением), в каком они приводятся в сборниках данных авторов. А затем разберём, как эти задачи решаются простыми математическими средствами.
1. «Простая арифметика» (Дьюдени)
Однажды при посещении дома для душевнобольных я спросил двух пациентов, сколько им лет. Они ответили. Решив испытать их арифметические способности, я попросил сложить два названных возраста. У одного получилось при этом 44, а у другого 1280. Я сообразил, что первый вычел один возраст из другого, а второй их перемножил.
Сколько лет было больным?
2. Древняя задача (Дьюдени)
Вот пример задачи, которую можно предлагать за завтраком. Её сформулировал древнегреческий философ Метродор в 310 г. до н. э.
Демохар четверть своей жизни был мальчиком, одну пятую – юношей, треть – мужчиной и 13 лет прожил стариком.
Сколько всего лет он прожил?
3. Возраст членов семьи (Дьюдени)
У одной супружеской пары было трое детей: Джон, Бен и Мэри. Причём разница в возрасте у родителей была такой же, как между Джоном и Беном и между Беном и Мэри. Произведение возрастов Джона и Бена равнялось возрасту отца, а произведение возрастов Бена и Мэри – возрасту матери. Общий возраст всех членов семьи равнялся 90 годам.
Сколько лет было каждому из них?
4. Сколько лет каждому сыну? (Дьюдени)
Отца спросили, сколько лет двум его сыновьям. Тот ответил, что удвоенный возраст старшего сына на 18 лет превышает сумму возрастов обоих сыновей, а возраст младшего на 6 лет меньше разности их возрастов.
Сколько лет каждому сыну?
5. Брат и сестра (Дьюдени)
Когда одного мальчика спросили, сколько лет ему и его сестре, он ответил:
— Три года назад я был в 7 раз старше сестры, два года назад – в 4 раза, в прошлом году – в 3 раза, а в этом году я в 2,5 раза старше её.
Сколько лет мальчику и его сестре?
6. Возраст Робинсона (Дьюдени)
— Сколько вам лет, Робинсон? – спросил однажды полковник Крэкхэм.
— Точно не помню, – ответил тот, – но мой брат на 2 года старше меня. Моя сестра на 4 года старше брата. Когда я родился, моей маме было 20 лет, а вчера мне сказали, что средний возраст всех четверых составляет 39 лет.
Сколько лет Робинсону?
7. Три дочери и два сына (Перельман)
Дядя приехал навестить своих двух племянников и трёх племянниц, которых давно не видел.
Первыми вышли к нему маленький Володя с сестрёнкой Женей, и мальчуган гордо объявил дяде, что он в два раза старше своей сестры.
Затем выбежала Надя, и вошедший с нею папа сказал гостю, что обе девочки вдвое старше мальчика.
Когда пришёл из школы Алёша, папа объявил, что мальчики вместе вдвое старше обеих девочек.
Позднее всех пришла Лида и, увидев гостя, радостно воскликнула:
— Дядя, вы приехали как раз в день моего рождения! Мне сегодня исполнился 21 год!
— И знаете еще что, – прибавил отец, – я сейчас сообразил, что мои три дочери вместе вдвое старше обоих моих сыновей.
Сколько же лет было каждому сыну и каждой дочери?
8. Сколько лет мальчику? (Лойд)
— Сколько лет этому мальчику? – спросил кондуктор.
Польщённый тем интересом, который проявлен к его семье, житель пригорода ответил:
— Мой сын в пять раз старше моей дочери, а моя жена в пять раз старше сына, а я вдвое старше моей жены, тогда как бабушка, которая столь же стара, как и мы все вместе взятые, сегодня отмечает свой 81 день рождения.
Сколько лет было мальчику?
9. Сколько лет боссу? (Лойд)
— Шестую часть своей жизни я провёл мальчиком в Старом Свете, – заметил босс. – Двенадцатую – занимался бизнесом в Нью-Йорке, а седьмую, да ещё пять лет я был занят политикой и супружескими делами, после чего как раз и родился Джимми. Четыре года назад его выбрали в муниципалитет, возраст его тогда составлял ровно половину моего настоящего возраста.
Сколько лет боссу?
Здесь можно было бы привести ещё два десятка задач об определении возраста от мэтров, но пока опустим их. Дело в том, что много задач, особенно у С. Лойда, существенно отличаются по способу решения, а то и вовсе решаются простым подбором нужных чисел. Поэтому мы может быть поговорим о таких задачах позже. А пока вы можете пролистать немного вниз и узнать, как нужно решить представленные здесь десять задач.
Прежде всего нужно сказать, что все эти задачи – именно задачи, а не головоломки, причём задачи математические. Точнее – алгебраические, так как для их решения нужно составлять и решать уравнения с одним, а чаще – с двумя или даже бОльшим количеством неизвестных.
И у приведённых здесь задач алгоритм решения плюс-минус одинаковый. Хотя есть тут и особый случай, но обо всём по порядку.
Общий алгоритм разберём на задаче из вступления: «Сейчас мой сын моложе меня втрое. Но пять лет назад он был моложе меня в четыре раза. Сколько ему лет?». Кстати говоря, эта задача взята из книги Я. И. Перельмана, но, как нетрудно заметить, она перекликается с задачами Г. Дьюдени.
Итак, для решения задачи нужно составить уравнение. То есть, формализировать то, что здесь описано, а затем просто решить полученное уравнение. В этой задаче нам нужно найти возраст сына в настоящий момент – обозначим его через x. Но в задаче фигурирует и неизвестный возраст отца – обозначим его через y. Теперь можно составить систему уравнений с двумя неизвестными.
По условию задачи, сейчас сын моложе отца втрое – это запишем как y = 3x.
Далее, пять лет назад сын был моложе отца в четыре раза. Так как речь идёт о прошлом, то при составлении уравнения нужно вычесть из текущего возраста отца и сына эти самые пять лет: возраст сына пять лет назад будет x – 5, возраст отца будет y – 5. Соответственно, если пять лет назад сын был вчетверо моложе отца, то получится уравнение: y – 5 = 4(x – 5).
Теперь мы можем решить систему двух уравнений:
y = 3x
y – 5 = 4(x – 5)
Решить эту систему уравнений не составит труда, так как здесь даже лишних преобразований делать не придётся – у нас в первом уравнении уже всё готово. Чтобы избежать делений, просто во втором уравнении вместо y подставим 3x (возьмём значение y из первого уравнения), получится следующее:
3x – 5 = 4(x – 5)
Далее решаем обычное уравнение:
3x – 5 = 4x – 20
3x – 4x = – 20 – 5
– x = – 15
У нас получились отрицательные числа, но так как они оба со знаком «минус», то просто меняем на знак «плюс», и получаем ответ:
x = 15
Таким образом, сыну на сегодняшний день 15 лет. А так как отец втрое старше сына, то ему сегодня 45 лет. И нетрудно посчитать, что пять лет назад сыну было 10 лет, а отцу – 40 лет, что отвечает условиям задачи.
Интересно отметить, что у Я. И. Перельмана в ответе на задачу нет никаких уравнений – решение даётся в виде логических рассуждений, которые занимают довольно много места и понять их с первого раза довольно трудно. В то же время формализация, составление системы уравнений позволяет решить задачу буквально в десяток строк, и решение это будет легко понято даже семиклассником.
Примерно таким способом решаются и остальные задачи, поэтому нет необходимости так подробно расписывать каждый шаг.
1. «Простая арифметика» (Дьюдени). Эта задача решается аналогично, хотя здесь в результате получается уравнение не обычное, а квадратное. Из условий задачи ясно, что пациенты имеют разный возраст, причём разница довольно большая – только в этом случае можно получить такую существенную разницу (44 года) и произведение возрастов. Поэтому пусть x – это старший пациент, y – младший пациент. Составляем систему уравнений:
x – y = 44
x·y = 1280
Из первого уравнения выводим:
x = 44 +y
Подставляем это во второе уравнение и решаем:
(44+y)y = 1280
44y + y^2 = 1280
Теперь приведём это к стандартному виду квадратного уравнения:
y^2 + 44y – 1280 = 0
Не будем приводить весь расчёт и поиск корней, а сразу дадим ответ – y = 20.
То есть, младшему пациенту 20 лет, и, подставив это значение в первое уравнение, найдём, что старшему пациенту – 64 года. И вы без труда убедитесь, что всё сходится.
2. Древняя задача (Дьюдени). Эта задача очень простая, и её можно было даже поставить вначале, но я решил оставить порядок задач таким, каков он в книге Г. Дьюдени. Для решения этой задачи достаточно составить обычное уравнение с одним неизвестным, и здесь за x мы берём возраст Демохара на момент формулирования им задачи. Соответственно, четверть жизни – это x/4, пятая часть – это x/5, треть – x/3. Отсюда:
x = x/4 + x/5 + x/3 + 13
Теперь решаем уравнение, перенеся все неизвестные в левую сторону, а 13 оставив справа:
x – x/4 – x/5 – x/3 = 13
Наименьшее общее кратное для чисел 3, 4 и 5 – 60, поэтому:
(60x – 15x – 12x – 20x)/60 = 13
(60x – 47x)/60 = 13
13x/60 = 13
13x = 13·60 = 780
x = 780/13 = 60
То есть, возраст Демохара 60 лет. И легко проверить, что всё сходится.
3. Возраст членов семьи (Дьюдени). А вот эта задача имеет подвох. Решить её так, как предыдущие, составлением уравнения, невозможно. Но уравнение, всё же, позволяет найти решение, но для этого ещё и логику приложить нужно.
Итак, у нас есть Отец, Мать, Джон, Бен и Мэри. Известны соотношения их возрастов:
Отец + Мать + Джон + Бен + Мэри = 90
Отец – Мать = Джон – Бен = Бен – Мэри
Джон х Бен = Отец
Бен х Мэри = Мать
Решим «уравнение», составленное из второго равенства:
Отец – Мать – (Джон – Бен) – (Бен – Мэри) = 0
Раскрываем скобки:
Отец – Мать – Джон + Бен – Бен + Мэри = 0
Здесь Бен сокращается, остаётся:
Отец – Мать – Джон + Мэри = 0
Далее можно действовать логически. Мы знаем, что отец и мать должны быть старше своих детей, а, судя по сумме всех возрастов, дети ещё не слишком взрослые. Подставляя различные числа вместо значений Отец, Мать, Джон и Мэри, нам не удастся получить равенства, приведённые в условиях задачи. Но если мы предположим, что дети – близнецы, то есть, имеют один возраст, то всё сходится. Ну а раз дети имеют одинаковый возраст, то и родители ровесники. И только перебором мы можем найти, что детям по 6 лет, а родителям – по 36 лет, что в сумме даёт те самые 90 лет. Другие числа таких результатов не дадут.
4. Сколько лет каждому сыну? (Дьюдени). А эта задача – чисто алгебраическая, здесь нужно составить и решить простую систему уравнений.
Пусть x – возраст старшего сына, y – возраст младшего сына. Из условий задачи получается два уравнения:
2x = x + y + 18
y + 6 = x – y
Теперь преобразуем второе уравнение и получившийся результат подставляем в первое:
x = 2y +6
2(2y + 6) = 2y + 6 + y +18
4y + 12 = 2y + y + 24
4y – 2y – y = 24 – 12
2y – y = 12
y = 12
Таким образом, младшему брату 12 лет. И если это значение подставить в уравнение x = 2y + 6, то найдём возраст старшего сына – 30 лет. Проверьте – всё соответствует условиям задачи.
5. Брат и сестра (Дьюдени). Это тоже чисто алгебраическая задача, хотя при решении уравнений может возникнуть путаница в знаках. Но это уже незначительные частности.
Итак, пусть нынешний возраст брата будет x, сестры – y. Составляем несколько уравнений:
x = 2,5y – разница возрастов на данный момент
x – 1 = 3(y – 1) – разница возрастов год назад
x – 2 = 4(y – 2) – разница возрастов два года назад
x – 3 = 7(y – 3) – разница возрастов три года назад
Подставим значение x из первого уравнения во второе и решим получившееся:
2,5y – 1 = 3(y – 1)
2,5y – 1 = 3y – 3
2,5y – 3y = – 3 + 1
– 0,5y = 2
y = – 4
Очевидно, что здесь просто 4, то есть – сестре на сегодняшний день 4 года. И, подставив это значение в первое уравнение, получим, что брату 10 лет. Проверьте остальные уравнения – всё сходится.
6. Возраст Робинсона (Дьюдени). Это тоже алгебраическая задача, но, пожалуй, самая простая из всех – здесь, несмотря на обилие персонажей, составляется уравнение с одной неизвестной.
Пусть x – возраст Робинсона
Брат на 2 года старше Робинсона, то есть x + 2
Сестра на 4 года старше брата, то есть x + 2 + 4
Мать старше Робинсона на 20 лет, то есть x + 20
А уравнение нужно составить по среднему возрасту, который находится делением суммы всех возрастов на 4 (на количество персонажей):
(x + x + 2 + x + 2 + 4 + x + 20)/4 = 39
(4x + 28)/4 = 39
4x + 28 = 39·4 = 156
4x = 156 – 28 = 128
x = 32
То есть, Робинсону 32 года. Отсюда легко посчитать, что брату 34 года, сестре 38 лет, а матери 52 года, а их средний возраст действительно составляет 39 лет.
7. Три дочери и два сына (Перельман). Скажем прямо, эта задача лишь выглядит сложно, а решается очень просто. Для начала составляем равенства по условиям задачи (Володя – В, Женя – Ж, Надя – Н, Алёша – А, Лида – Л):
В = 2Ж
Н + Ж = 2В
В + А = 2(Н + Ж)
Л = 21
Л + Н + Ж = 2(В + А)
Очевидно, что самым младшим ребёнком в семье является Женя, поэтому имеет смысл привести все неравенство именно к Ж:
В = 2Ж (мы уже это знаем)
Н = 2(2Ж) – Ж = 3Ж
А = 2(3Ж + Ж) – 2Ж = 6Ж + 2Ж – 2Ж = 6Ж
Теперь поставим всё в последнее уравнение:
Л + 3Ж + Ж = 2(2Ж + 6Ж)
Л = 4Ж + 12Ж – 3Ж – Ж
Л = 12Ж
Известно, что Л = 21, отсюда:
12Ж = 21
Ж = 21/12 = 1 и ¾ года (или 1 год и 9 месяцев).
Теперь легко посчитать все остальные возраста:
Женя – 1 и ¾ года
Володя – 3 и ½ года
Надя – 5 и ¼ года
Алёша – 10 и ½ года
Как видите, решается эта задача гораздо проще, чем выглядит. И интересно, что рассуждения Перельмана, приведённые в его книге, более громоздки и не сразу понятны. А формулы позволяют найти решение за считанные минуты.
8. Сколько лет мальчику? (Лойд). У C.Лойда задачи чуть позаковыристее, и здесь мы приводим только две, которые можно решить алгебраическими методами без подбора. В этой задаче сначала нужно составить равенства из возрастов Отца (О), Матери (М), Сына (С) и Дочери (Д):
С = 5Д
М = 5С
О = 2М
О + М + С + Д = 81
Благодаря равенствам мы можем все возраста вывести через один, как в задаче Перельмана. Для удобства всё выведем через возраст дочери. При этом мы уже знаем сам возраст дочери Д и возраст сына = 5Д. Возраст матери составляет 5С = 25Д. Возраст отца составляет 2М = 50Д. Теперь в последнее уравнение подставим полученные значения:
50Д + 25Д + 5Д + Д = 81
81Д = 81
Д = 1
Таким образом, дочери только 1 год, и теперь можно вывести все остальные возраста: сыну – 5 лет, матери – 25 лет, отцу – 50 лет.
Да, у Лойда почти все задачи на возраст почти всегда не согласуются с реальностью или соответствуют реалиями XIX века – часто в этих задачах фигурируют 15-ти – 16-летние матери, 25-летние матери с пятнадцатью детьми, престарелые отцы и т.д. Очевидно, что такие возраста он подбирал для удобства, чтобы задачи сходились. Но сегодня это выглядит как минимум странно.
9. Сколько лет боссу? (Лойд). Как нетрудно заметить, это слегка модифицированная задача Г. Дьюдени о возрасте Демохара. А модификация заключается в добавлении возраста сына, что заставляет нас составлять систему уравнений.
Итак, пусть x – возраст босса, y – текущий возраст его сына. Нынешний возраст босса составляет:
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + y
А возраст сына четыре года назад:
y – 4 = x/2
y = x/2 + 4
Теперь последнее уравнение подставляем в первое и решаем его:
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
x – x/6 – x/12 – x/7 – x/2 = 5 + 4 = 9
(84x – 14x – 7x – 12x – 42x)/84 = 9
9x/84 = 9
x = 84
То есть, возраст босса составляет 84 года, а возраст сына на момент избрания в муниципалитет 42 года. Всё сходится.
Таким образом, все представленные здесь задачи на возраст решаются алгебраическими методами, хотя местами и приходится прибегать к простой житейской логике. Но, повторюсь, существует ещё достаточно много подобных задач, где математика не очень применима, а нужно решать путём подбора или логических размышлений. Но пусть эти задачи подождут своего часа в книгах классиков головоломок и занимательных задач.
Литература:
1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – Изд. 27-е, испр. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. – 320 с.
2. Дьюдени Г. Э. 520 головоломок: Сост. и ред. амер. изд. М. Гарднер. Пер. с англ. Ю. Н. Сударева. – М.: Мир, 1975. – 342 с., ил.
3. Лойд С. Математическая мозаика: Пер. с англ./Сост. и ред. М. Гарднер. – 2-е изд., стереотип. – М.: Мир, 1984. – 311 с., ил.
4. Перельман Я. И. Веселые задачи / Я. И. Перельман. – М.: АСТ: Астрель: Полиграфиздат, 2010. – 287, [1] с.: ил. – (Занимательная наука).