Задача: Через точку внутри треугольника проведены три прямые параллельно всем его сторонам. Найдите площадь исходного треугольника, если площади отмеченных треугольников на рисунке равны S1, S2 и S3.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Образованные маленькие треугольники подобны между собой, поскольку образованы параллельными прямыми. Из подобия △DEN ~ △MNK следует, что EN/NK = √(S1/S3); EN = NK * √(S1/S3). Из подобия △NFG ~ △MNK следует, что FN/MN = √(S2/S3); FN = MN * √(S2/S3). Пусть ∠MNK = α, тогда ∠ENF = 180° - α. Выразим площади S3 и параллелограмма BENF:
- S3 = 1/2 * MN * NK * sin α
- SBENF = EN * FN * sin (180° - α) = NK * √(S1/S3) * MN * √(S2/S3) * sin α
Тогда SBENF = S3 * SBENF/S3 = S3 * (NK * √(S1/S3) * MN * √(S2/S3) * sin α)/(1/2 * MN * NK * sin α) = S3 * 2 * √(S1/S3) * √(S2/S3) = 2 * S3 * √(S1*S2/S3^2) = 2 * S3 * √(S1 * S2)/S3 = 2√(S1 * S2). Аналогично SADNM = 2√(S1 * S3) и SCKNG = 2√(S2 * S3).
S△ABC = S1 + S2 + S3 + SADNM + SCKNG + SBENF =
= S1 + S2 + S3 + 2√(S1 * S3) + 2√(S2 * S3) + 2√(S1 * S2) =
= (S1 + √(S1 * S2) + √(S1 * S3)) + (S2 + √(S1 * S2) + √(S2 * S3)) + (S3 + √(S1 * S3) + √(S2 * S3)) =
= √S1 * (√S1 + √S2 + √S3) + √S2 * (√S1 + √S2 + √S3) + √S3 * (√S1 + √S2 + √S3) =
= (√S1 + √S2 + √S3)(√S1 + √S2 + √S3) = (√S1 + √S2 + √S3)^2.
Ответ: (√S1 + √S2 + √S3)^2.
Задача решена.