Родился Леонид Окунев 25 января 1949 года в городе Тюмени. Начал профессиональную артистическую карьеру он в 1969 году. В 2004 году Леонид Григорьевич удостоен звания "Заслуженный артист России".
В девяностые годы совместно с тюменским предпринимателем Виктором Загоруйко при содействии некоторых актеров тюменской драмы Окунев создал частный театр «Русский ангажемент». Его организаторы не планировали создавать театр с полноценной труппой. Однако идея, которая работала тогда в Москве, Санкт-Петербурге, Омске или Свердловске, не прижилась в Тюмени, и Окуневу пришлось создать полноценный театр. Теперь "Ангажемент" - полноценный театр, имеющий цеха, два зрительных зала с современной звуковой и осветительной аппаратурой. С 2005 года артист является директором театра, оставаясь при этом его художественным руководителем. Кроме того, Леонид Окунев сам играет во многих спектаклях.
