Задача: Параллельно двум сторонам треугольника ABC провели две прямые. Они разбили треугольник на две трапеции, треугольник и параллелограмм. Цифрами обозначены площади трапеций и треугольника. Найдите площадь параллелограмма.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Треугольники △AMP ~ △KLP, так как образуют стандартное положение "пирамида". S△AMP = SAMLK + S△KLP = 3 + 1 = 4. Тогда коэффициент подобия k = √(S△KLP/S△AMP) = √(1/4) = 1/2. Пусть LP = x, тогда MP = 2x ⇒ ML = MP - LP = x.
Треугольники △KNC ~ △KLP, так как образуют стандартное положение "пирамида". S△KNC = SCNLP + S△KLP = 15 + 1 = 16. Тогда коэффициент подобия k = √(S△KLP/S△KNC) = √(1/16) = 1/4. Пусть KL = y, тогда KN = 4y ⇒ LN = KN - KL = 3y.
Обозначим ∠KLP за α, тогда ∠MLN = 180° - α. Выразим площади треугольника △KLP и параллелограмма BMLN:
- S△KLP = 1/2 * KL * PL * sin α = 1/2 * y * x * sin α.
- SBMLN = ML * LN * sin (180° - α) = x * 3y * sin α.
Тогда SBMLN/S△KLP = (x * 3y * sin α)/(1/2 * y * x * sin α) = 6 ⇒ SBMLN = 6 * S△KLP = 6 * 1 = 6.
Ответ: 6.
Задача решена.