Задача: На основании трапеции взяли произвольную точку T. Через неё провели две прямые параллельно диагоналям трапеции. Они пересекли боковые стороны трапеции в точках M и K. Отрезок MK пересекает диагонали трапеции в точках P и E. Докажите, что MP = EK.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Треугольники △AGM ~ △AOB так как они образуют стандартное положение "пирамида" ⇒ MG/BO = AG/AO; △AGT ~ △AOD, поскольку также образуют положение "пирамида" ⇒ GT/OD = AG/AO ⇒ MG/BO = GT/OD; MG/GT = BO/OD. Однако, поскольку по св-у трапеции BO/OD = BC/AD, то MG/GT = BC/AD. Аналогично KF/FT = BC/AD ⇒ MG/GT = KF/FT.
Рассмотрим ∠TMK: поскольку PG∥KT, то по теореме о пропорциональных отрезках MG/GT = MP/PK. Рассмотрим ∠MKT: поскольку EF∥MT, то по теореме о пропорциональных отрезках KF/FT = EK/EM. Тогда поскольку MG/GT = KF/FT, то MP/PK = EK/EM ⇒
MP/PK = EK/EM | (PK = EP + EK; EM = MP + EP)
MP/(EK + EP) = EK/(MP + EP)
MP(MP + EP) = EK(EK + EP)
MP^2 + EP * MP = EK^2 + EP * EK
MP^2 - EK^2 + EP * MP - EP * EK = 0
(MP - EK)(MP + EK) + EP(MP - EK) = 0
(MP - EK)(MP + EK + EP) = 0 | (MP + EK + EP = MK)
MK(MP - EK) = 0
Итак, MK(MP - EK) = 0. Поскольку MK не может быть равен 0, то MP - EK = 0 ⇒ MP = EK.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.