Приветствую!
Статья написана по материалам доклада на Международной научно-практической конференции "Железнодорожный транспорт и технологии" (RTT-2023), прошедшей в Уральском государственном университете путей сообщения (УрГУПС) 29 - 30 ноября 2023 г. в городе Екатеринбург.
Перед прочтением статьи рекомендую ознакомиться с ГОСТ Р 50779.10-2000 Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения.
Введение.
Начну с задачи, которая возникла передо мной при попытках моделирования поведения сыпучих грузов из вагонов-хопперов методом дискретных элементов.
Метод дискретных элементов (DEM - Discrete Element Method) является обобщением метода конечных элементов (FEM) и предназначен для моделирования поведения большого числа частиц гранулированного груза при различных промышленных операциях, в том числе горной и металлургической отрасли. На рисунке ниже представлена последовательность операций при моделировании процесса загрузки кузова/емкости гранулированным грузом и возникающих при этом напряжениях в конструкции.
При использовании данного метода необходимо задать параметры дискретного элемента (гранулы груза), такие как геометрические параметры, масса, твердость и прочие, зависящие от целей и задач конкретного моделирования.
В качестве предмета для исследования выбран груз - железорудные окатыши, представляющие собой твердые тела размером от 2 до 30 мм, имеющие форму близкую к сферической. Окатыши получают путем окатывания (окомкования) тонкоизмельченных рудных материалов с добавками связующих веществ и флюсов с последующим термическим упрочнением (обжигом). Окатыши используют в качестве шихты при доменной выплавке чугуна.
В, имеющейся в моем распоряжении, литературе нет достаточной информации о характеристиках распределения диаметра и массы железорудных окатышей. Например, в монографии сотрудников Нижнетагильского технологического института от 2018 приводится информация о процентном распределении размеров окатышей, полученных на грануляторах фабрики окатышей Качканарского ГОКа. Приводится предположение о близком к нормальному (Гаусса-Лапласа) распределению размеров окатышей в диапазоне от менее 10 мм до более 15 мм и таблицы распределения частот. Однако, этого не достаточно. В защиту авторов нужно сказать, что в монографии ставилась задача: «Разработка технологий для производства железорудных окатышей с высокими металлургическими свойствами» с одноименным названием и статистическое исследование гранулометрического состава выходит за её рамки.
Попробуем восполнить данный пробел и таким образом решим задачу установления статистического распределения диаметра железорудных окатышей.
О выборке окатышей.
Сделана выборка окатышей производства Качканарского ГОК-а в количестве 148 окатышей. Диаметр каждого окатыша измерялся штангенциркулем на 150 мм с модулем цифрового отображения показаний с точностью 0,01 мм. Измерения диаметра каждого окатыша проводились в двух плоскостях в месте максимального и минимального показания толщины тела окатыша с последующим усреднением.
Диаметры окатышей в выборке распределены от 8,25 мм до 19,18 мм. Размах выборки составляет почти 11 мм. Средний диаметр окатыша составляет 13 мм. со стандартным отклонением в 2 мм.
Технологией производства окатышей предусмотрен отсев окатышей мелкой фракции <5 мм и в выборке окатыши данной фракции не наблюдались.
Гистограммы и графики функций распределения диаметров окатышей
Нормальное распределение, асимметрия и эксцесс.
Все наблюдаемые значения выборки разделены на классы с интервалом в 1 мм. В выборке окатышей диаметром менее 8 мм не наблюдалось, и интервалы с 0 по 7 мм объединены в один класс.
Вычислена частота встречаемости наблюдаемых диаметров в данном классе и построена гистограмма.
На первый взгляд диаметры окатышей распределены не по нормальному закону (Гаусса – Лапласа). Скорее по логнормальному. Начнем с нормального распределения.
Функция нормального распределения (Гаусса - Лапласа) плотности вероятностей имеет следующий вид:
Для наложения графика функции распределения плотности вероятностей нормального закона на гистограмму вместо стандартного математического ожидания случайной величины μ = 0 подставлено выборочное среднее арифметическое μ = 13,19 мм. и вместо стандартного отклонения нормального распределения σ = 1 подставлено выборочное стандартное отклонение
σ = 2,05 мм.
Построим графики функций плотности вероятностей и наложим их на гистограмму (красным - график функции нормального распределения).
По графику видно, что распределение диаметров окатышей отклоняется от нормального распределения и имеет асимметрию.
Показатель асимметрии характеризует скошенность эмпирического ряда распределения относительно нормального.
Показатель асимметрии определен через центральный момент третьего порядка, который имеет следующий вид:
Асимметрия (на рисунке имеет обозначение "as") эмпирического ряда распределения диаметров относительного нормального распределения составила 0,32, что говорит о правосторонней умеренной асимметрии (на рисунке слева).
Оценим эксцесс (на рисунке обозначен как "ek") через центральный момент четвертого порядка.
Показатель эксцесса оценивает величину отклонения фактической формы вершины эмпирического распределения от формы нормального распределения.
Интерпретируя показатель эксцесса ek = -0,08 < 0 можно утверждать, что значения признака незначительно рассредоточены относительно средней величины.
Оценена существенность показателей асимметрии и эксцесса на основании расчета среднеквадратической ошибки (на рисунке под названиями).
Отношение показателя асимметрии к средквадратической ошибке показателя асимметрии меньше 3, следовательно асимметрия выборки несущественна и нет оснований для утверждения о несимметричном распределении признака.
Распределение считается близким к нормальному, если показатели асимметрии и эксцесса по модулю не превышают двукратного значения своих среднеквадратических ошибок. В данной выборке это условие выполняется и, следовательно, распределение признака (диаметр окатыша) близко к нормальному.
Логарифмически нормальное распределение
Посмотрим на наложение графика функции логарифмически нормального распределения плотности вероятностей, имеющий следующий вид:
Тут необходимо напомнить, что это распределение непрерывной случайной величины X, которая принимает любые значения от значения "a" до плюс бесконечности. Для исследования параметр "a" принят равным нулю.
Для наложения на гистограмму графика функции логарифмический нормального распределения вместо стандартного математического ожидания стандартного отклонения взяты выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение натурального логарифма случайной величины.
При наложении графика и гистограммы видно, что распределение диаметров окатышей в первом приближении согласуется с логарифмически нормальным распределением. Проверим данную гипотезу с помощью критерия согласия хи-квадрат Пирсона.
В "Рекомендациях по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть 1. Критерий типа хи-квадрат. (Р 50.1.033-2001)" предлагается использовать следующую формулу:
Выдвинем нулевую гипотезу H0 о том, эмпирическое распределение, полученное при исследовании признака, согласовано с теоретическим - логарифмически нормальным распределением. Выдвинем альтернативную гипотезу H1 о том, что эмпирическое распределение не соответствует теоретическому - логарифмически нормальному распределению. Гипотеза H0 подтверждается при условии, что статистика хи-квадрат эмпирического распределения не превышает критического значения хи-квадрат при уровне значимости альфа и числа степеней свободы df = k - 1. Зададим уровень значимости альфа равном 0,05 (или 5%) α = 0,05. Для выборки
k - количество классов, на которые распределена выборка (14 классов), соответственно, число степеней свободы равно 13-ти. При данных параметрах критическое значение хи-квадрат, взятое по таблице значений, равно 22,362.
Статистика критерия согласия хи-квадрат Пирсона для выборки принимает значение равное 30,82, что больше критического значения хи-квадрат
(30,83 > 22,362) и, соответственно, нулевую гипотезу H0 о согласованности эмпирического распределения (выборки) с логнормальным распределением отвергаем.
Распределение диаметров не согласуется ни с нормальным ни с логарифмически нормальным распределением. Встает вопрос об оценке параметров некоторого распределения, которое будет достаточно согласовано с наблюдаемой выборкой. В качестве такого распределения взято гамма-распределение с оценкой параметров исходя из наблюдаемой выборкой.
Гамма-распределение с оцененными параметрами
Воспользуемся ГОСТ 11.011-83 "Государственный стандарт. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения". Распределение случайной величины X называется гамма-распределение, если плотность вероятности имеет вид:
Плотность вероятности f(x; a, b, c) определяется тремя параметрами a, b, c,
где a > 0 является параметром формы,
b > 0 параметром масштаба,
с - параметром сдвига.
Множитель
Параметры гамма-распределения оценены по ГОСТ 11.011-83 при параметре сдвига равном нулю (c = 0). Параметр сдвига изначально принимался равным нулю потому, что диаметры окатышей в генеральной совокупности принимают значения начиная с нуля и в действительности отрицательный диаметр не имеет физического смысла.
При наложении графика гамма-распределения можно, в первом приближении, сказать что эмпирическое распределение диаметров окатышей довольно хорошо согласуется данным распределением при параметрах формы a = 41, масштаба b = 0,31, сдвига c = 0.
При заданных параметрах Гамма-распределения, статистика хи‑квадрат Пирсона принимает значение равное 12,64, что не превышает критического значения (табличного) хи-квадрат (12,64 < 22,362) и соответственно, применяя критерий согласия хи-квадрат Пирсона при уровне значимости α = 0,05 нет оснований для отклонения нулевой гипотезы H0 о согласии эмпирического распределения с гамма-распределением.
Выводы
Резюмируя вышеизложенное сделаем ряд выводов:
- Действительный вид распределения генеральной совокупности диаметров окатышей невозможно установить ввиду невозможности подвергнуть измерениям всей генеральной совокупности окатышей.
- Распределение диаметров окатышей выборки согласуется с гамма-распределением при параметрах a = 41, b = 0,31, c = 0.
- В расчетной модели методом дискретных элементов диаметр окатыша можно задать случайной числом имеющим распределение в диапазоне от 10 до 16 мм. Этот диапазон задает 92% всех окатышей в выборке.
- Если учесть, что в методе дискретных элементов, генерируется большое и даже огромное количество элементов-гранул, то расчет случайного числа (диаметра) через гамма-функцию распределения для каждой гранулы представляется очень вычислительно затратным. Наиболее быстро можно распределение случайного числа через таблицу эмпирического распределения:
Список использованной литературы
При исследовании использовались следующие документы и литература:
- ГОСТ Р 50779.10-2000. Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения.
- А.Ю. Феоклистов, А.А. Каменецкий, Л.И. Блехман, В.Б.Васильков, И.Н. Скрябин, К.С.Иванов. Применение метода дискретных элементов для моделирования процессов в горно-металлургической промышленности. Записки горного института т. 192. Санкт-Петербург. 2011.
- Разработка технологий для производства железорудных окатышей с высокими металлургическими свойствами : научная монография. Б. П. Юрьев, Н. А. Спирин, О. Ю. Шешуков, В. А. Гольцев, О. И. Шевченко, А. А. Метелкин ; Министерство образования и науки РФ ФГАОУ ВО «УрФУ им. первого Президента России Б.Н. Ельцина», Нижнетагильский технологический институт (фил.). Нижний Тагил : НТИ (филиал) УрФУ, 2018. – 172 с.
- Симонов Ю.Н., Белова С.А., Симонов М.Ю. Металлургические технологии. Учебник. Издательство ПНИПУ 2012 г.
- И.С.Шорохова, Н.В.Кисляк, О.С.Мариев. Статистические методы анализа. М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. — Екатеринбург : Изд‑во Урал. ун-та, 2015. — 300 с.
- ГОСТ 11.011-83. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения.
Благодарности
Выражаю благодарность коллегам Свердлову Вадиму и Шерстобитову Сергею за моральную поддержку в ходе исследований. Без вашей поддержки Я бы окончательно выгорел (душевно высох) в море специализированной литературы по прикладной статистике, специальных разделов теории вероятностей, методов планирования и обработки результатов инженерного эксперимента и других "гранитных" областях науки.