Бесконечность – это загадочное понятие, играющее ключевую роль в математике. Как только мы пытаемся применить его к реальному миру, начинают происходить странные вещи. Подумайте об этом: сложите все натуральные числа, и, казалось бы, невозможное становится реальностью – их сумма равна минус одной двенадцатой.
Утверждение, что сумма всех натуральных чисел равна −1/12, на первый взгляд кажется абсурдным, ведь как может бесконечная сумма положительных чисел быть отрицательной? Это заявление, однако, не является строгим математическим утверждением в обычном понимании, а скорее относится к определенным областям теоретической физики и математики, где используются специализированные методы суммирования.
В обычной арифметике сумма всех натуральных чисел (1+2+3+4+…) является бесконечной и не имеет конечного значения. Однако в некоторых областях математики, таких как теория струн и квантовая физика, используются специальные методы для присваивания конечных значений бесконечным суммам. Один из таких методов — это так называемое аналитическое продолжение дзета-функции Римана, которое в определенных условиях может привести к значению −1/12 для суммы всех натуральных чисел.
Это значение не следует понимать буквально в обычном арифметическом смысле. Скорее, это способ математической регуляризации, который позволяет теоретикам обрабатывать бесконечности в своих уравнениях. Важно отметить, что это значение имеет смысл только в рамках определенных теоретических моделей и не является "истинной" суммой всех натуральных чисел в традиционном понимании.
Или возьмите сферу, состоящую из бесконечно малых точек – с ней можно провести такие эксперименты, что из воздуха, кажется, возникает еще одна сфера.
Этот пример относится к известному парадоксу в математике, известному как "парадокс Банаха-Тарского". Парадокс утверждает, что сферу (или любой другой трехмерный объект) можно разделить на конечное число непересекающихся частей, которые затем можно переместить и повернуть (но не растянуть или изменить) таким образом, чтобы собрать из них две сферы такого же размера, как и исходная.
Этот парадокс основан на принципах геометрической теории множеств и использует концепцию "недостижимых точек", которые не могут быть определены или измерены в обычных терминах. Важно отметить, что парадокс Банаха-Тарского — это чисто математическая конструкция, которая не имеет физического применения, поскольку она опирается на идеализированные, абстрактные понятия, не соответствующие физической реальности.
В физическом мире невозможно взять сферу и "вырастить" из неё ещё одну сферу таким образом, как это предполагает парадокс. Это связано с тем, что в реальности материалы и объекты подчиняются законам физики, которые не позволяют делать нечто подобное без добавления дополнительного материала или энергии. Парадокс Банаха-Тарского остаётся интересной и важной концепцией в области математики, но его следует рассматривать как умозрительный эксперимент, а не как что-то, что можно реализовать в физическом мире.
Рассмотрим еще один парадокс: если каждому четному числу поставить в соответствие натуральное число, можно утверждать, что четных чисел столько же, сколько и четных с нечетными вместе взятых.
Это утверждение касается понятия бесконечности и счетности множеств в математике, а конкретнее — понятия равномощности множеств.
В математике множества считаются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Для бесконечных множеств это означает, что они содержат "одинаковое количество" элементов, даже если это количество бесконечно.
Рассмотрим множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4, ...) и множество всех четных чисел (2, 4, 6, 8, ...). На первый взгляд может показаться, что четных чисел меньше, ведь они составляют только половину всех натуральных чисел. Однако, если мы установим соответствие между каждым натуральным числом и четным числом, удвоив натуральное число (1 соответствует 2, 2 соответствует 4, 3 соответствует 6, и так далее), мы увидим, что каждому натуральному числу найдется парное ему четное число. Это означает, что оба множества равномощны, несмотря на их бесконечность.
Таким образом, в контексте бесконечных множеств, можно утверждать, что количество четных чисел равно количеству всех натуральных чисел (четных и нечетных вместе взятых), поскольку между этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Это один из интуитивно неочевидных аспектов бесконечных множеств в математике.
Все это звучит нелепо, но только до тех пор, пока мы находимся в гипотетическом мире, созданном математиками. Но что, если математика – это не просто создание, а исследование уже существующих законов?
Отвлечемся на мгновение: математический язык был создан, чтобы открывать математические истины. И пока бесконечность остается чисто математическим понятием, она не наносит вреда реальному миру. Но существуют ли случаи, когда это почти невозможное для понимания человеком понятие вторгается в нашу реальность?
Как ни странно, найти следы бесконечности можно в самых экстремальных уголках нашей Вселенной. Начнем с черных дыр. Эти космические объекты, по-видимому, являются местами, где бесконечность перестает быть абстракцией и начинает влиять на наше понимание реальности.
В самом центре черной дыры находится сингулярность, которая, согласно современным научным представлениям, обладает бесконечной плотностью и нулевым объемом. Это приводит к бесконечному искажению пространства-времени. Такие выводы ученые сделали, поскольку до сих пор неизвестна сила, которая могла бы остановить бесконечное сжатие умирающей звезды. Это представление остается нашим лучшим предположением, так как современная физика терпит крах, пытаясь описать подобные явления. Многие ученые полагают, что такое понятие бесконечности лишь указывает на пробелы в нашем понимании реальности.
Фаззболы представляют собой одну из гипотетических моделей черных дыр, возникшую на основе теории суперструн. В отличие от традиционных представлений о черных дырах, где в центре предполагается наличие сингулярности, модель фаззбола предлагает идею, что внутри черной дыры находится область, составленная из суперструн. Эти суперструны, согласно некоторым теоретикам, являются фундаментальными строительными блоками субатомных частиц.
Важным отличием фаззболов от обычных черных дыр является то, что они не обладают бесконечной плотностью. Их плотность выше, чем у нейтронных звезд, но она не стремится к бесконечности. Несмотря на это, фаззболы все равно образуют горизонт событий, границу, за которой свет не может вырваться наружу. Это делает их внешне похожими на классические черные дыры. Однако, в отличие от традиционных черных дыр, где объект, попадая внутрь, направляется к сингулярности, в фаззболе он, согласно теории, трансформируется в суперструны.
Таким образом, хотя фаззболы и остаются научной гипотезой, они предлагают альтернативный взгляд на природу черных дыр, отходя от идеи о бесконечной сингулярности и предлагая новый механизм для объяснения их структуры и поведения.
Взглянем на самую быструю вещь во Вселенной – скорость света. Несмотря на её огромную величину, она не бесконечна и имеет точно определённое значение. Если бы скорость света была бесконечной, свет был бы везде и всегда, что, скорее всего, привело бы к нарушению реальности. Это значение скорости света одинаково для всех наблюдателей, за исключением одного – самого фотона.
Фотон не имеет массы, так как только объекты без массы могут двигаться со скоростью света. Когда объект приближается к скорости света, время для него замедляется. Таким образом, для объекта, движущегося со скоростью света, время, по сути, перестает существовать. С точки зрения фотона, его скорость кажется бесконечной, так как он не воспринимает время при перемещении от точки А к точке Б. Тем не менее, более корректно сказать, что для фотона расстояние вообще не существует: точки А и Б для него являются одной и той же точкой.
Теперь обратим внимание на изменение длины волны света. Как фотон может менять свою длину волны, если в одной точке он зеленый, а в другой – красный? Ответ кроется в том, что длина волны света зависит только от наблюдателя. Если свет удаляется от наблюдателя, он кажется смещенным в красную сторону спектра (красное смещение), а если приближается – в синюю (синее смещение). С точки зрения фотона, длина волны не изменяется.
Основываясь на общей теории относительности, можно сказать, что она часто противоречит интуиции, но при этом не дает примеров реальной бесконечности в природе. Однако, если взглянуть на саму Вселенную, ситуация становится иной. Вселенная может быть закрытой, открытой или плоской. Если Вселенная закрыта, это означает, что кривизна пространства-времени положительна. В такой Вселенной, если нарисовать треугольник космических масштабов, сумма его углов будет превышать 180 градусов, что отличается от того, что мы видим на обычном листе бумаги. Это сделало бы Вселенную похожей на огромную гиперсферу, и, двигаясь по прямой в одном направлении, можно было бы вернуться в исходную точку, подобно путешествию по Земле.
Однако некоторые расчеты показывают, что наша Вселенная является плоской, что означает, что двигаясь в одном направлении, вы будете продолжать движение бесконечно. И вот здесь мы сталкиваемся с первым реальным примером бесконечности в природе. Если Вселенная действительно бесконечна во всех направлениях, это означает, что существует бесконечное количество Земель с бесконечным количеством вас, живущих одной и той же жизнью, а также бесконечное количество вариантов вас, живущих вашими мечтами и кошмарами. Эти миры можно назвать параллельными вселенными, так как все, что находится за пределами нашего наблюдаемого космического "пузыря", недостижимо.
Тем не менее, возникает вопрос: Как возможно, что Вселенная имеет бесконечные размеры, учитывая, что Большой взрыв, событие, отмечающее её начало, произошло в конкретный, конечный момент в прошлом?Этот вопрос остается одним из самых загадочных и обсуждаемых в современной астрономии и космологии.
Это распространенное заблуждение, что Большой взрыв произошел подобно взрыву из одной точки. На самом деле, Большой взрыв представляет собой одновременное расширение бесконечного множества точек, подобно океану, заполненному воздушными шарами, где каждый шар символизирует свою наблюдаемую вселенную. Современные научные данные указывают на то, что Большой взрыв произошел примерно сколько-то лет назад, и, согласно наблюдениям, Вселенная, вероятно, будет существовать очень долго. Однако в конце концов все исчезнет, и когда во Вселенной больше ничего не будет происходить, время перестанет существовать, так как время имеет смысл только тогда, когда есть что-то, с чем его можно сопоставить.
Время не существовало до Большого взрыва, поскольку не было ничего, что могло бы служить мерилом времени. Тем не менее, потенциал для чего-то происходящего существовал благодаря квантовым флуктуациям ткани пространства-времени. Такие же флуктуации могут в далеком будущем породить новые вселенные, как это, вероятно, произошло с нашим Большим взрывом и бесконечным количеством других до него. Почему бесконечность? Потому что нет причин предполагать, что была определенная начальная точка. Даже если была определенная причина цепочки Больших взрывов, она не могла бы избежать регресса к бесконечности. Всегда можно спросить, что было до этого, и в конечном итоге мы всегда сталкиваемся с бесконечностью где-то в этой цепи.
Так чему же нас учит эта форма бесконечности? Все, что когда-либо происходило или нет, обречено происходить вечно и всегда происходило. Можно ли прервать бесконечный цикл? Нет. Есть ли что-то ценное, что можно извлечь из этого? Вероятно, да.
Мы приглашаем вас продолжать исследовать эти удивительные темы вместе с нами. Подписывайтесь на наш канал, чтобы не пропустить новые публикации, и не забывайте ставить лайки, если вам понравилась эта статья. Ваши комментарии и поддержка мотивируют нас продолжать делиться знаниями и открытиями. Спасибо за внимание, и до новых встреч в мире науки!