Задача: В прямоугольной трапеции ABCD с прямыми углами A и B. E — точка пересечения диагоналей, а F — основание перпендикуляра, опущенного из точки E на боковую сторону AB. Докажите, что угол CFE равен углу DFE.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По св-у трапеции диагонали делят друг друга на отрезки, пропорциональные её основаниям ⇒ BE/ED = BC/AD. Рассмотрим ∠ABD: EH∥AD (так как EF⟂AB и AD⟂AB) ⇒ по теореме о пропорциональных отрезках BF/AH = BE/ED ⇒ BF/AH = BC/AD.
Рассмотрим прямоугольные △FAD и △FBC:
BF/AF = BC/AD
⇒ △FAD ~ △FBC по II признаку подобия треугольников ⇒ ∠AFD = ∠BFC. Тогда ∠CFE = 90° - ∠BFC и ∠DFE = 90° - ∠AFD, то ∠CFE = ∠DFE.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.