Задача: Периметр треугольника ABC равен 9. В треугольник вписана окружность, и к ней проведена касательная, параллельная стороне AB. Отрезок этой касательной, заключённый между сторонами AC и CB, равен 1. Найдите сторону AB.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме об отрезках касательных AL + BK = AB; ML + NK = MN = 1. Тогда периметр треугольника P△MCN = P△ACB - AB - (AL + AK) = 9 - 2AB.
Рассмотрим △ACB и △MCN:
∠C - общий
∠CAB = ∠CMN (как соответственные при пересечении AB∥MN секущей AC)
⇒ △ACB ~ △MCN по I признаку подобия треугольников ⇒ AB/MN = k, то есть AB = k. Найдём коэффициент подобия k через периметры треугольников: k = P△ACB/P△MCN = 9/(9 - 2AB) ⇒
AB = 9/(9-2AB)
AB(9-2AB) = 9
9AB - 2AB^2 = 9
2AB^2 - 9AB + 9 = 0
2AB^2 - 6AB - 3AB + 9 = 0
2AB(AB-3) - 3(AB - 3) = 0
(2AB - 3)(AB-3) = 0
AB = 3/2; AB = 3
Ответ: 1,5; 3.
Задача решена.