7 декабря 2023 Всероссийская олимпиада школьников по математике 7, 8, 9, 10, 11 класс задания и ответы муниципального этапа 2023 Республика Татарстан.
Скачать задания и ответы для 7 класса
Скачать задания и ответы для 8 класса
Скачать задания и ответы для 9 класса
Скачать задания и ответы для 10 класса
Скачать задания и ответы для 11 класса
Все задания олимпиады будут доступны вам в 8:30 утра 7 декабря;
Ответы для заданий олимпиады будут доступны вам в 8:45 утра 7 декабря;
После оплаты вы получите ссылку на вашу эл. почту для получения материалов;
Задача 8.1. В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 60 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике? Ответ: 5. Решение. Поскольку яблок в 3 раза больше, чем не яблок, то яблоки составляют 3 4 от общего количества фруктов, т. е. их 3 4 ⋅ 60 = 45. Поскольку груш в 5 раз меньше, чем не груш, то груши составляют 1 6 от общего количества фруктов, т. е. их 1 6 ⋅60 = 10. Тогда апельсинов всего 60 − 45 − 10 = 5. Задача 8.2. Олег купил шоколадку за 𝑛 рублей, а через некоторое время продал её за 96 рублей. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на 𝑛%дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку? Ответ: 60. Решение. Из условия задачи следует, что 96 = 𝑛 ⋅ (1 + 𝑛 100 ). Преобразуя это уравнение, получаем 0 = 𝑛2 + 100𝑛 − 9600 ⇔ 0 = (𝑛 + 160)(𝑛 − 60). Значит, 𝑛 = 60, ведь шоколадка не может стоить отрицательное число рублей. Задача 8.3. У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 87. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое? Ответ: 17. Решение. Заметим, что число 10 единственным образом представляется в виде суммы трёх простых чисел: 10 = 2 + 3 + 5. Это означает, что на кубиках есть числа 2, 3, 5, и они выпали в первый раз. Заметим, что если чётное число 62 представимо в виде суммы трёх простых чисел, то одно из них чётно и поэтому равно 2. Тогда сумма двух оставшихся равна 60. Заметим, что среди этих двух чисел не может быть ни числа 2, ни числа 3, ни числа 5, а также что они различны (ведь числа 58, 57, 55 и 30 — составные). Это означает, что на кубиках есть два различных простых числа с суммой 60, больших 5, и они выпали во второй раз (вместе с 2). 8 Итак, на каждом кубике есть числа 2, 3, 5, а также два других простых числа с суммой 60.
Поскольку сумма всех шести чисел равна 87, то шестое число, которое никогда не выпадало, равно 87 − 2 − 3 − 5 − 60 = 17. Задача 8.4. В клетках таблицы 2 × 35 (2 строки, 35 столбцов) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице? (б) (3 балла) Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке? Ответ: (а) 35. (б) 12. Решение. (а) В любом столбце может быть не более одного отрицательного числа, поэтому всего отрицательных чисел не больше 35. Их может быть ровно 35, если, например, сверху стоят числа −1, −2, −3, … , −35, а под ними — числа 1 2 , 22 , 32 , … , 352 соответственно. (б) Докажем, что каждое из чисел в нижней строке встречается не более 3 раз. • Пусть в нижней строке встретилось число 𝑎 < 0. Тогда оно не может быть чьимто квадратом, и над ним написано число 𝑎 2 . Поскольку в верхней строке все числа различны, то число 𝑎 в нижней строке встречается не более 1 раза. • Пусть в нижней строке встретилось число 𝑎 > 0. Если в столбце с числом 𝑎 верхнее число является квадратом нижнего, то над ним написано число 𝑎 2 . Если же нижнее число является квадратом верхнего, то над ним написано −√𝑎 или √𝑎. Поскольку в верхней строке все числа различны, то число 𝑎 в нижней строке встречается не более 3 раз. Поскольку каждое из чисел в нижней строке встречается не более 3 раз, а чисел там всего 35, то среди них различных не меньше 35 3 > 11, т. е. их не меньше 12. Осталось привести пример того, как в нижней строке может оказаться ровно 12 различных чисел. Рассмотрим 12 наименьших простых чисел: 2 = 𝑝1 < 𝑝2 < … < 𝑝12. Пусть в первых трёх столбцах снизу везде написано число 𝑝 2 1 , а сверху написаны числа −𝑝1 , 𝑝1 и 𝑝 4 1 . Аналогично в следующих трёх столбцах снизу везде написано число 𝑝 2 2 , а сверху написаны числа −𝑝2 , 𝑝2 и 𝑝 4 2 и так далее.
В последних двух столбцах снизу написано число 𝑝 2 12, а сверху написаны числа −𝑝12 и 𝑝12. Задача 8.5. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 биссектрисы углов 𝐴 и 𝐶 параллельны, а биссектрисы углов 𝐵 и 𝐷 пересекаются под углом 46∘ , как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов 𝐴 и 𝐵? 9 46∘ ? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 Ответ: 67. Решение. Отметим точки пересечения биссектрис 𝐾, 𝐿, 𝑀, 𝑁 (см. рис. 2). Кроме этого, обозначим ∠𝐴 = 2𝛼, ∠𝐵 = 2𝛽, ∠𝐶 = 2𝛾, ∠𝐷 = 2𝛿. Поскольку сумма углов четырёхугольника 𝛼 𝛼 𝛽 𝛽 𝛾 𝛾 𝛿 𝛿 46∘ ? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐾 𝐿 𝑀 𝑁 Рис. 2: к решению задачи 8.5 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 360∘ , имеем: 2𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 + 2𝛿 = 360∘ , 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 = 180∘ . Рассмотрим треугольник 𝐾𝑀𝑁. В нём: • ∠𝑀𝐾𝑁 = 46∘ , 10 • ∠𝐾𝑀𝑁 = ∠𝐴𝐿𝑀 = 𝛼 + 𝛽, так как 𝐴𝐿𝑀 — внешний угол треугольника 𝐴𝐵𝐿 (этот угол и нужно найти в задаче), • ∠𝐾𝑁𝑀 = ∠𝐶𝑁𝐷 = 180∘ − 𝛾 − 𝛿 = 𝛼 + 𝛽. Следовательно, треугольник 𝐾𝑀𝑁 — равнобедренный, и ∠𝐾𝑀𝑁 = 180∘ − 46∘ 2 = 67∘ . Другое решение. Зафиксируем угол 𝐴 и перенесём параллельно угол 𝐶 так, чтобы вершина 𝐶 оказалась на биссектрисе угла 𝐴. (Или более формально, отметим на биссектрисе угла 𝐴 точку 𝐶 ′ и проведём из неё лучи, сонаправленные лучам 𝐶𝐵 и 𝐶𝐷; пересечения этих лучей с лучами 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 соответственно обозначим через 𝐵 ′ и 𝐷 ′ , как на рис. 3.) 46∘ ? 𝐴 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝐷 ′ 𝐵 𝐶 𝐷 Рис. 3: к решению задачи 8.5 Стороны нового четырёхугольника 𝐴𝐵′𝐶 ′𝐷 ′ параллельны сторонам исходного; значит, и углы между этими сторонами такие же. Следовательно, биссектрисы нового четырёхугольника параллельны соответствующим биссектрисам исходного, и углы между ними тоже сохранились. Но это означает, что биссектрисы углов 𝐴 и 𝐶 ′ совпадают, то есть вся новая картинка симметрична относительно прямой 𝐴𝐶′ (из равенства треугольников 𝐴𝐵′𝐶 ′ и 𝐴𝐷′𝐶 ′ по общей стороне и прилежащим к ней углам). Из симметрии следует, что другие две биссектрисы пересекаются на прямой 𝐴𝐶′ и образуют с ней равные углы. Тогда искомый угол после удвоения будет дополнять 46∘ до развёрнутого. Следовательно, он равен 1 2 (180∘ − 46∘ ) = 67∘ .
Задача 8.6. Натуральное число 𝑛 таково, что значение выражения 𝑛 2 + 492 является точным квадратом. 11 (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение 𝑛. (б) (2 балла) Чему может быть равно 𝑛? Укажите все возможные варианты. Ответ: 𝑛 = 38; 122. Решение. Пусть 𝑛 2 + 492 = 𝑘2 для некоторого натурального 𝑘 > 𝑛. Тогда 2 2 ⋅ 3 ⋅ 41 = 492 = 𝑘2 − 𝑛2 = (𝑘 − 𝑛)(𝑘 + 𝑛). Числа 𝑘 − 𝑛 и 𝑘 + 𝑛 имеют одинаковую чётность, поэтому они оба должны быть чётны. Поскольку 𝑘 − 𝑛 < 𝑘 + 𝑛, имеем лишь два возможных случая. • Пусть 𝑘 − 𝑛 = 2 и 𝑘 + 𝑛 = 246. Тогда 𝑘 = 246 + 2 2 = 124 и 𝑛 = 246 − 2 2 = 122. • Пусть 𝑘 − 𝑛 = 6 и 𝑘 + 𝑛 = 82. Тогда 𝑘 = 82 + 6 2 = 44 и 𝑛 = 82 − 6 2 = 38. Легко проверить, что обе эти пары подходят под условие. Задача 8.7. Сколько существует способов расположить в ряд 𝑛 крестиков и 13 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если (а) (2 балла) 𝑛 = 27; (б) (2 балла) 𝑛 = 26? Ответ: (а) 14. (б) 105. Решение. Пронумеруем нолики слева направо числами от 1 до 13. Обозначим количество крестиков перед первым ноликом через 𝑎1 , между первым и вторым ноликом — через 𝑎2 , …, после тринадцатого нолика — через 𝑎14. Получаем, что 𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 = 𝑛. То, что среди любых трёх подряд идущих значков есть хотя бы один нолик, эквивалентно тому, что три крестика не могут идти подряд, то есть 𝑎𝑖 ⩽ 2 для любого 𝑖 = 1, 2, … , 14. Заметим, что подходящие последовательности крестиков и ноликов взаимно однозначно сопоставляются последовательностям 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎14 с указанными условиями. (а) Сумма 14 целых неотрицательных чисел равна 27, причём каждое из них не больше 2.
Это означает, что какое-то одно 𝑎𝑖 должно быть равно 1, а все остальные должны быть равны 2. Так как 𝑖 может принимать любое значение от 1 до 14, получаем, что вариантов ровно 14. (б) Теперь сумма 14 целых неотрицательных чисел равна 26. Это означает, что либо какоето 𝑎𝑖 равно 0, а все остальные равны 2, либо какие-то 𝑎𝑗 и 𝑎𝑘 равны 1, а все остальные равны 2. В первом случае получаем 14 вариантов. Во втором случае получаем C 2 14 = 14 ⋅ 13 2 = 91 вариант, ведь нам нужно выбрать 2 индекса из 14 возможных. Итого получаем ровно 14 + 91 = 105 вариантов. Задача 8.8. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 42∘ и 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶. Точка 𝐾 на стороне 𝐴𝐶 такова, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐾. Точки 𝑃 и 𝑄 — середины отрезков 𝐴𝐾 и 𝐵𝐶 соответственно. Сколько градусов составляет угол 𝐴𝐶𝐵, если известно, что ∠𝑃𝑄𝐶 = 110∘ ? 12 42∘ 110∘ ? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐾 𝑃 𝑄 Ответ: 49. 21∘ 110∘ ? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐾 𝑃 𝑄 𝐿 Рис. 4: к решению задачи 8.8 Решение. Отметим на продолжении стороны 𝐶𝐴 за точку 𝐴 точку 𝐿 такую, что 𝐴𝐿 = 𝐴𝐵 (рис. 4). Заметим, что прямая 𝑃𝑄 параллельна прямой 𝐵𝐿 как средняя линия в треугольнике 𝐵𝐶𝐿. Получаем, что ∠𝐿𝐵𝐶 = ∠𝑃𝑄𝐶 = 110∘ . В равнобедренном треугольнике 𝐵𝐴𝐿 внешний угол при вершине 𝐴 равен 42∘ , поэтому углы при основании равны ∠𝐴𝐿𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐿 = 1 2 ⋅ 42∘ = 21∘ . Из суммы углов треугольника 𝐵𝐶𝐿 находим искомый угол: ∠𝐴𝐶𝐵 = 180∘ − ∠𝐶𝐿𝐵 − ∠𝐿𝐵𝐶 = 180∘ − 110∘ − 21∘ = 49∘ .
13 8 класс Вариант 8.1.1. В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 60 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике? Ответ: 5. Вариант 8.1.2. В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 120 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике? Ответ: 10. Вариант 8.1.3. В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 180 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике? Ответ: 15. Вариант 8.1.4. В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 240 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике? Ответ: 20. Вариант 8.2.1. Олег купил шоколадку за 𝑛 рублей, а через некоторое время продал её за 96 рублей. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на 𝑛% дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку? Ответ: 60. Вариант 8.2.2. Олег купил шоколадку за 𝑛 рублей, а через некоторое время продал её за 119 рублей. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на 𝑛% дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку? Ответ: 70. Вариант 8.2.3. Олег купил шоколадку за 𝑛 рублей, а через некоторое время продал её за 144 рубля. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на 𝑛% дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку? Ответ: 80. 46 Вариант 8.2.4. Олег купил шоколадку за 𝑛 рублей, а через некоторое время продал её за 171 рубль. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на 𝑛% дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку? Ответ: 90. Вариант 8.3.1. У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 87. Маша дважды кинула все три кубика.
В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое? Ответ: 17. Вариант 8.3.2. У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 89. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое? Ответ: 19. Вариант 8.3.3. У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 83. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое? Ответ: 13. Вариант 8.3.4. У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 81. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась
62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое? Ответ: 11. 47 Вариант 8.4.1. В клетках таблицы 2 × 35 (2 строки, 35 столбцов) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице? (б) (3 балла) Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке? Ответ: (а) 35. (б) 12. Вариант 8.4.2.
В клетках таблицы 2 × 38 (2 строки, 38 столбцов) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице? (б) (3 балла) Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке? Ответ: (а) 38. (б) 13. Вариант 8.4.3. В клетках таблицы 2 × 32 (2 строки, 32 столбца) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице? (б) (3 балла) Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке? Ответ: (а) 32. (б) 11. Вариант 8.4.4. В клетках таблицы 2 × 41 (2 строки, 41 столбец) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице? (б) (3 балла)
Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке? Ответ: (а) 41. (б) 14. 48 Вариант 8.5.1. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 биссектрисы углов 𝐴 и 𝐶 параллельны, а биссектрисы углов 𝐵 и 𝐷 пересекаются под углом 46∘ , как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов 𝐴 и 𝐵? 46∘ ? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 Ответ: 67. Вариант 8.5.2. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 биссектрисы углов 𝐴 и 𝐶 параллельны, а биссектрисы углов 𝐵 и 𝐷 пересекаются под углом 48∘ , как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов 𝐴 и 𝐵? 48∘ ? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 Ответ: 66. Вариант 8.5.3. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 биссектрисы углов 𝐴 и 𝐶 параллельны, а биссектрисы углов 𝐵 и 𝐷 пересекаются под углом 44∘ , как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов 𝐴 и 𝐵? 49 44∘ ? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 Ответ: 68. Вариант 8.5.4. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 биссектрисы углов 𝐴 и 𝐶 параллельны, а биссектрисы углов 𝐵 и 𝐷 пересекаются под углом 42∘ , как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов 𝐴 и 𝐵? 42∘ ? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 Ответ:
69. Вариант 8.6.1. Натуральное число 𝑛 таково, что значение выражения 𝑛 2 + 492 является точным квадратом. (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение 𝑛. (б) (2 балла) Чему может быть равно 𝑛? Укажите все возможные варианты. Ответ: 𝑛 = 38; 122. Вариант 8.6.2. Натуральное число 𝑛 таково, что значение выражения 𝑛 2 + 516 является точным квадратом. (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение 𝑛. (б) (2 балла) Чему может быть равно 𝑛? Укажите все возможные варианты. 50 Ответ: 𝑛 = 40; 128. Вариант 8.6.3. Натуральное число 𝑛 таково, что значение выражения 𝑛 2 + 564 является точным квадратом. (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение 𝑛. (б) (2 балла) Чему может быть равно 𝑛? Укажите все возможные варианты. Ответ: 𝑛 = 44; 140. Вариант 8.7.1. Сколько существует способов расположить в ряд 𝑛 крестиков и 13 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если (а) (2 балла) 𝑛 = 27; (б) (2 балла) 𝑛 = 26? Ответ: (а) 14. (б) 105. Вариант 8.7.2. Сколько существует способов расположить в ряд 𝑛 крестиков и 14 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если (а) (2 балла) 𝑛 = 29; (б) (2 балла) 𝑛 = 28? Ответ: (а) 15. (б) 120. Вариант 8.7.3. Сколько существует способов расположить в ряд 𝑛 крестиков и 12 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если (а) (2 балла) 𝑛 = 25; (б) (2 балла) 𝑛 = 24? Ответ: (а) 13. (б) 91. Вариант 8.7.4. Сколько существует способов расположить в ряд 𝑛 крестиков и 11 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если (а) (2 балла) 𝑛 = 23; (б) (2 балла) 𝑛 = 22? Ответ: (а) 12. (б) 78. Вариант 8.8.1. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 42∘ и 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶. Точка 𝐾 на стороне 𝐴𝐶 такова, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐾. Точки 𝑃 и 𝑄 — середины отрезков 𝐴𝐾 и 𝐵𝐶 соответственно.
Сколько градусов составляет угол 𝐴𝐶𝐵, если известно, что ∠𝑃𝑄𝐶 = 110∘ ? 51 42∘ 110∘ ? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐾 𝑃 𝑄 Ответ: 49. Вариант 8.8.2. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 44∘ и 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶. Точка 𝐾 на стороне 𝐴𝐶 такова, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐾. Точки 𝑃 и 𝑄 — середины отрезков 𝐴𝐾 и 𝐵𝐶 соответственно. Сколько градусов составляет угол 𝐴𝐶𝐵, если известно, что ∠𝑃𝑄𝐶 = 110∘ ? 44∘ 110∘ ? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐾 𝑃 𝑄 Ответ: 48. Вариант 8.8.3. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 46∘ и 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶. Точка 𝐾 на стороне 𝐴𝐶 такова, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐾. Точки 𝑃 и 𝑄 — середины отрезков 𝐴𝐾 и 𝐵𝐶 соответственно. Сколько градусов составляет угол 𝐴𝐶𝐵, если известно, что ∠𝑃𝑄𝐶 = 110∘ ? 46∘ 110∘ ? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐾 𝑃 𝑄 Ответ: 47. Вариант 8.8.4. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 48∘ и 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶. Точка 𝐾 на стороне 𝐴𝐶 такова, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐾. Точки 𝑃 и 𝑄 — середины отрезков 𝐴𝐾 и 𝐵𝐶 соответственно. Сколько градусов составляет угол 𝐴𝐶𝐵, если известно, что ∠𝑃𝑄𝐶 = 110∘ ?
