{"draftJsState":{"blocks":[{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"7 декабря 2023 Всероссийская олимпиада школьников по математике 7, 8, 9, 10, 11 класс задания и ответы муниципального этапа 2023 Республика Татарстан.","type":"unstyled","key":"3k249"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":0,"length":37,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[{"length":37,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Скачать задания и ответы для 7 класса","type":"unstyled","key":"elvm6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":1,"length":37,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[{"length":37,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Скачать задания и ответы для 8 класса","type":"unstyled","key":"6aa1s"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":2,"length":37,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[{"length":37,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Скачать задания и ответы для 9 класса","type":"unstyled","key":"24ldj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":3,"length":38,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[{"length":38,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Скачать задания и ответы для 10 класса","type":"unstyled","key":"tp3q"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":4,"length":38,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[{"length":38,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Скачать задания и ответы для 11 класса","type":"unstyled","key":"59d7c"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Все задания олимпиады будут доступны вам в 8:30 утра 7 декабря;","type":"unstyled","key":"6viak"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Ответы для заданий олимпиады будут доступны вам в 8:45 утра 7 декабря;","type":"unstyled","key":"lpcs"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"После оплаты вы получите ссылку на вашу эл. почту для получения материалов;","type":"unstyled","key":"439bo"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Задача 8.1. В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 60 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике? Ответ: 5. Решение. Поскольку яблок в 3 раза больше, чем не яблок, то яблоки составляют 3 4 от общего количества фруктов, т. е. их 3 4 ⋅ 60 = 45. Поскольку груш в 5 раз меньше, чем не груш, то груши составляют 1 6 от общего количества фруктов, т. е. их 1 6 ⋅60 = 10. Тогда апельсинов всего 60 − 45 − 10 = 5. Задача 8.2. Олег купил шоколадку за \uD835\uDC5B рублей, а через некоторое время продал её за 96 рублей. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на \uD835\uDC5B%дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку? Ответ: 60. Решение. Из условия задачи следует, что 96 = \uD835\uDC5B ⋅ (1 + \uD835\uDC5B 100 ). Преобразуя это уравнение, получаем 0 = \uD835\uDC5B2 + 100\uD835\uDC5B − 9600 ⇔ 0 = (\uD835\uDC5B + 160)(\uD835\uDC5B − 60). Значит, \uD835\uDC5B = 60, ведь шоколадка не может стоить отрицательное число рублей. Задача 8.3. У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 87. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое? Ответ: 17. Решение. Заметим, что число 10 единственным образом представляется в виде суммы трёх простых чисел: 10 = 2 + 3 + 5. Это означает, что на кубиках есть числа 2, 3, 5, и они выпали в первый раз. Заметим, что если чётное число 62 представимо в виде суммы трёх простых чисел, то одно из них чётно и поэтому равно 2. Тогда сумма двух оставшихся равна 60. Заметим, что среди этих двух чисел не может быть ни числа 2, ни числа 3, ни числа 5, а также что они различны (ведь числа 58, 57, 55 и 30 — составные). Это означает, что на кубиках есть два различных простых числа с суммой 60, больших 5, и они выпали во второй раз (вместе с 2). 8 Итак, на каждом кубике есть числа 2, 3, 5, а также два других простых числа с суммой 60. ","type":"unstyled","key":"87pnj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Поскольку сумма всех шести чисел равна 87, то шестое число, которое никогда не выпадало, равно 87 − 2 − 3 − 5 − 60 = 17. Задача 8.4. В клетках таблицы 2 × 35 (2 строки, 35 столбцов) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице? (б) (3 балла) Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке? Ответ: (а) 35. (б) 12. Решение. (а) В любом столбце может быть не более одного отрицательного числа, поэтому всего отрицательных чисел не больше 35. Их может быть ровно 35, если, например, сверху стоят числа −1, −2, −3, … , −35, а под ними — числа 1 2 , 22 , 32 , … , 352 соответственно. (б) Докажем, что каждое из чисел в нижней строке встречается не более 3 раз. • Пусть в нижней строке встретилось число \uD835\uDC4E < 0. Тогда оно не может быть чьимто квадратом, и над ним написано число \uD835\uDC4E 2 . Поскольку в верхней строке все числа различны, то число \uD835\uDC4E в нижней строке встречается не более 1 раза. • Пусть в нижней строке встретилось число \uD835\uDC4E > 0. Если в столбце с числом \uD835\uDC4E верхнее число является квадратом нижнего, то над ним написано число \uD835\uDC4E 2 . Если же нижнее число является квадратом верхнего, то над ним написано −√\uD835\uDC4E или √\uD835\uDC4E. Поскольку в верхней строке все числа различны, то число \uD835\uDC4E в нижней строке встречается не более 3 раз. Поскольку каждое из чисел в нижней строке встречается не более 3 раз, а чисел там всего 35, то среди них различных не меньше 35 3 > 11, т. е. их не меньше 12. Осталось привести пример того, как в нижней строке может оказаться ровно 12 различных чисел. Рассмотрим 12 наименьших простых чисел: 2 = \uD835\uDC5D1 < \uD835\uDC5D2 < … < \uD835\uDC5D12. Пусть в первых трёх столбцах снизу везде написано число \uD835\uDC5D 2 1 , а сверху написаны числа −\uD835\uDC5D1 , \uD835\uDC5D1 и \uD835\uDC5D 4 1 . Аналогично в следующих трёх столбцах снизу везде написано число \uD835\uDC5D 2 2 , а сверху написаны числа −\uD835\uDC5D2 , \uD835\uDC5D2 и \uD835\uDC5D 4 2 и так далее. ","type":"unstyled","key":"8rjr2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В последних двух столбцах снизу написано число \uD835\uDC5D 2 12, а сверху написаны числа −\uD835\uDC5D12 и \uD835\uDC5D12. Задача 8.5. В выпуклом четырёхугольнике \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC36\uD835\uDC37 биссектрисы углов \uD835\uDC34 и \uD835\uDC36 параллельны, а биссектрисы углов \uD835\uDC35 и \uD835\uDC37 пересекаются под углом 46∘ , как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов \uD835\uDC34 и \uD835\uDC35? 9 46∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC37 Ответ: 67. Решение. Отметим точки пересечения биссектрис \uD835\uDC3E, \uD835\uDC3F, \uD835\uDC40, \uD835\uDC41 (см. рис. 2). Кроме этого, обозначим ∠\uD835\uDC34 = 2\uD835\uDEFC, ∠\uD835\uDC35 = 2\uD835\uDEFD, ∠\uD835\uDC36 = 2\uD835\uDEFE, ∠\uD835\uDC37 = 2\uD835\uDEFF. Поскольку сумма углов четырёхугольника \uD835\uDEFC \uD835\uDEFC \uD835\uDEFD \uD835\uDEFD \uD835\uDEFE \uD835\uDEFE \uD835\uDEFF \uD835\uDEFF 46∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC37 \uD835\uDC3E \uD835\uDC3F \uD835\uDC40 \uD835\uDC41 Рис. 2: к решению задачи 8.5 \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC36\uD835\uDC37 равна 360∘ , имеем: 2\uD835\uDEFC + 2\uD835\uDEFD + 2\uD835\uDEFE + 2\uD835\uDEFF = 360∘ , \uD835\uDEFC + \uD835\uDEFD + \uD835\uDEFE + \uD835\uDEFF = 180∘ . Рассмотрим треугольник \uD835\uDC3E\uD835\uDC40\uD835\uDC41. В нём: • ∠\uD835\uDC40\uD835\uDC3E\uD835\uDC41 = 46∘ , 10 • ∠\uD835\uDC3E\uD835\uDC40\uD835\uDC41 = ∠\uD835\uDC34\uD835\uDC3F\uD835\uDC40 = \uD835\uDEFC + \uD835\uDEFD, так как \uD835\uDC34\uD835\uDC3F\uD835\uDC40 — внешний угол треугольника \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC3F (этот угол и нужно найти в задаче), • ∠\uD835\uDC3E\uD835\uDC41\uD835\uDC40 = ∠\uD835\uDC36\uD835\uDC41\uD835\uDC37 = 180∘ − \uD835\uDEFE − \uD835\uDEFF = \uD835\uDEFC + \uD835\uDEFD. Следовательно, треугольник \uD835\uDC3E\uD835\uDC40\uD835\uDC41 — равнобедренный, и ∠\uD835\uDC3E\uD835\uDC40\uD835\uDC41 = 180∘ − 46∘ 2 = 67∘ . Другое решение. Зафиксируем угол \uD835\uDC34 и перенесём параллельно угол \uD835\uDC36 так, чтобы вершина \uD835\uDC36 оказалась на биссектрисе угла \uD835\uDC34. (Или более формально, отметим на биссектрисе угла \uD835\uDC34 точку \uD835\uDC36 ′ и проведём из неё лучи, сонаправленные лучам \uD835\uDC36\uD835\uDC35 и \uD835\uDC36\uD835\uDC37; пересечения этих лучей с лучами \uD835\uDC34\uD835\uDC35 и \uD835\uDC34\uD835\uDC37 соответственно обозначим через \uD835\uDC35 ′ и \uD835\uDC37 ′ , как на рис. 3.) 46∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 ′ \uD835\uDC36 ′ \uD835\uDC37 ′ \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC37 Рис. 3: к решению задачи 8.5 Стороны нового четырёхугольника \uD835\uDC34\uD835\uDC35′\uD835\uDC36 ′\uD835\uDC37 ′ параллельны сторонам исходного; значит, и углы между этими сторонами такие же. Следовательно, биссектрисы нового четырёхугольника параллельны соответствующим биссектрисам исходного, и углы между ними тоже сохранились. Но это означает, что биссектрисы углов \uD835\uDC34 и \uD835\uDC36 ′ совпадают, то есть вся новая картинка симметрична относительно прямой \uD835\uDC34\uD835\uDC36′ (из равенства треугольников \uD835\uDC34\uD835\uDC35′\uD835\uDC36 ′ и \uD835\uDC34\uD835\uDC37′\uD835\uDC36 ′ по общей стороне и прилежащим к ней углам). Из симметрии следует, что другие две биссектрисы пересекаются на прямой \uD835\uDC34\uD835\uDC36′ и образуют с ней равные углы. Тогда искомый угол после удвоения будет дополнять 46∘ до развёрнутого. Следовательно, он равен 1 2 (180∘ − 46∘ ) = 67∘ .","type":"unstyled","key":"ekasu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" Задача 8.6. Натуральное число \uD835\uDC5B таково, что значение выражения \uD835\uDC5B 2 + 492 является точным квадратом. 11 (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение \uD835\uDC5B. (б) (2 балла) Чему может быть равно \uD835\uDC5B? Укажите все возможные варианты. Ответ: \uD835\uDC5B = 38; 122. Решение. Пусть \uD835\uDC5B 2 + 492 = \uD835\uDC582 для некоторого натурального \uD835\uDC58 > \uD835\uDC5B. Тогда 2 2 ⋅ 3 ⋅ 41 = 492 = \uD835\uDC582 − \uD835\uDC5B2 = (\uD835\uDC58 − \uD835\uDC5B)(\uD835\uDC58 + \uD835\uDC5B). Числа \uD835\uDC58 − \uD835\uDC5B и \uD835\uDC58 + \uD835\uDC5B имеют одинаковую чётность, поэтому они оба должны быть чётны. Поскольку \uD835\uDC58 − \uD835\uDC5B < \uD835\uDC58 + \uD835\uDC5B, имеем лишь два возможных случая. • Пусть \uD835\uDC58 − \uD835\uDC5B = 2 и \uD835\uDC58 + \uD835\uDC5B = 246. Тогда \uD835\uDC58 = 246 + 2 2 = 124 и \uD835\uDC5B = 246 − 2 2 = 122. • Пусть \uD835\uDC58 − \uD835\uDC5B = 6 и \uD835\uDC58 + \uD835\uDC5B = 82. Тогда \uD835\uDC58 = 82 + 6 2 = 44 и \uD835\uDC5B = 82 − 6 2 = 38. Легко проверить, что обе эти пары подходят под условие. Задача 8.7. Сколько существует способов расположить в ряд \uD835\uDC5B крестиков и 13 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если (а) (2 балла) \uD835\uDC5B = 27; (б) (2 балла) \uD835\uDC5B = 26? Ответ: (а) 14. (б) 105. Решение. Пронумеруем нолики слева направо числами от 1 до 13. Обозначим количество крестиков перед первым ноликом через \uD835\uDC4E1 , между первым и вторым ноликом — через \uD835\uDC4E2 , …, после тринадцатого нолика — через \uD835\uDC4E14. Получаем, что \uD835\uDC4E1 + \uD835\uDC4E2 + … + \uD835\uDC4E14 = \uD835\uDC5B. То, что среди любых трёх подряд идущих значков есть хотя бы один нолик, эквивалентно тому, что три крестика не могут идти подряд, то есть \uD835\uDC4E\uD835\uDC56 ⩽ 2 для любого \uD835\uDC56 = 1, 2, … , 14. Заметим, что подходящие последовательности крестиков и ноликов взаимно однозначно сопоставляются последовательностям \uD835\uDC4E1 , \uD835\uDC4E2 , … , \uD835\uDC4E14 с указанными условиями. (а) Сумма 14 целых неотрицательных чисел равна 27, причём каждое из них не больше 2.","type":"unstyled","key":"ecsm9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" Это означает, что какое-то одно \uD835\uDC4E\uD835\uDC56 должно быть равно 1, а все остальные должны быть равны 2. Так как \uD835\uDC56 может принимать любое значение от 1 до 14, получаем, что вариантов ровно 14. (б) Теперь сумма 14 целых неотрицательных чисел равна 26. Это означает, что либо какоето \uD835\uDC4E\uD835\uDC56 равно 0, а все остальные равны 2, либо какие-то \uD835\uDC4E\uD835\uDC57 и \uD835\uDC4E\uD835\uDC58 равны 1, а все остальные равны 2. В первом случае получаем 14 вариантов. Во втором случае получаем C 2 14 = 14 ⋅ 13 2 = 91 вариант, ведь нам нужно выбрать 2 индекса из 14 возможных. Итого получаем ровно 14 + 91 = 105 вариантов. Задача 8.8. Дан треугольник \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC36, в котором ∠\uD835\uDC34 = 42∘ и \uD835\uDC34\uD835\uDC35 < \uD835\uDC34\uD835\uDC36. Точка \uD835\uDC3E на стороне \uD835\uDC34\uD835\uDC36 такова, что \uD835\uDC34\uD835\uDC35 = \uD835\uDC36\uD835\uDC3E. Точки \uD835\uDC43 и \uD835\uDC44 — середины отрезков \uD835\uDC34\uD835\uDC3E и \uD835\uDC35\uD835\uDC36 соответственно. Сколько градусов составляет угол \uD835\uDC34\uD835\uDC36\uD835\uDC35, если известно, что ∠\uD835\uDC43\uD835\uDC44\uD835\uDC36 = 110∘ ? 12 42∘ 110∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC3E \uD835\uDC43 \uD835\uDC44 Ответ: 49. 21∘ 110∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC3E \uD835\uDC43 \uD835\uDC44 \uD835\uDC3F Рис. 4: к решению задачи 8.8 Решение. Отметим на продолжении стороны \uD835\uDC36\uD835\uDC34 за точку \uD835\uDC34 точку \uD835\uDC3F такую, что \uD835\uDC34\uD835\uDC3F = \uD835\uDC34\uD835\uDC35 (рис. 4). Заметим, что прямая \uD835\uDC43\uD835\uDC44 параллельна прямой \uD835\uDC35\uD835\uDC3F как средняя линия в треугольнике \uD835\uDC35\uD835\uDC36\uD835\uDC3F. Получаем, что ∠\uD835\uDC3F\uD835\uDC35\uD835\uDC36 = ∠\uD835\uDC43\uD835\uDC44\uD835\uDC36 = 110∘ . В равнобедренном треугольнике \uD835\uDC35\uD835\uDC34\uD835\uDC3F внешний угол при вершине \uD835\uDC34 равен 42∘ , поэтому углы при основании равны ∠\uD835\uDC34\uD835\uDC3F\uD835\uDC35 = ∠\uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC3F = 1 2 ⋅ 42∘ = 21∘ . Из суммы углов треугольника \uD835\uDC35\uD835\uDC36\uD835\uDC3F находим искомый угол: ∠\uD835\uDC34\uD835\uDC36\uD835\uDC35 = 180∘ − ∠\uD835\uDC36\uD835\uDC3F\uD835\uDC35 − ∠\uD835\uDC3F\uD835\uDC35\uD835\uDC36 = 180∘ − 110∘ − 21∘ = 49∘ . ","type":"unstyled","key":"51t5c"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"13 8 класс Вариант 8.1.1. В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 60 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике? Ответ: 5. Вариант 8.1.2. В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 120 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике? Ответ: 10. Вариант 8.1.3. В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 180 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике? Ответ: 15. Вариант 8.1.4. В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 240 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике? Ответ: 20. Вариант 8.2.1. Олег купил шоколадку за \uD835\uDC5B рублей, а через некоторое время продал её за 96 рублей. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на \uD835\uDC5B% дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку? Ответ: 60. Вариант 8.2.2. Олег купил шоколадку за \uD835\uDC5B рублей, а через некоторое время продал её за 119 рублей. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на \uD835\uDC5B% дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку? Ответ: 70. Вариант 8.2.3. Олег купил шоколадку за \uD835\uDC5B рублей, а через некоторое время продал её за 144 рубля. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на \uD835\uDC5B% дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку? Ответ: 80. 46 Вариант 8.2.4. Олег купил шоколадку за \uD835\uDC5B рублей, а через некоторое время продал её за 171 рубль. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на \uD835\uDC5B% дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку? Ответ: 90. Вариант 8.3.1. У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 87. Маша дважды кинула все три кубика. ","type":"unstyled","key":"56jei"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое? Ответ: 17. Вариант 8.3.2. У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 89. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое? Ответ: 19. Вариант 8.3.3. У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 83. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое? Ответ: 13. Вариант 8.3.4. У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 81. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась ","type":"unstyled","key":"3kbgq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое? Ответ: 11. 47 Вариант 8.4.1. В клетках таблицы 2 × 35 (2 строки, 35 столбцов) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице? (б) (3 балла) Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке? Ответ: (а) 35. (б) 12. Вариант 8.4.2.","type":"unstyled","key":"d5kfi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" В клетках таблицы 2 × 38 (2 строки, 38 столбцов) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице? (б) (3 балла) Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке? Ответ: (а) 38. (б) 13. Вариант 8.4.3. В клетках таблицы 2 × 32 (2 строки, 32 столбца) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице? (б) (3 балла) Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке? Ответ: (а) 32. (б) 11. Вариант 8.4.4. В клетках таблицы 2 × 41 (2 строки, 41 столбец) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого. (а) (1 балл) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице? (б) (3 балла)","type":"unstyled","key":"2ea1s"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":" Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке? Ответ: (а) 41. (б) 14. 48 Вариант 8.5.1. В выпуклом четырёхугольнике \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC36\uD835\uDC37 биссектрисы углов \uD835\uDC34 и \uD835\uDC36 параллельны, а биссектрисы углов \uD835\uDC35 и \uD835\uDC37 пересекаются под углом 46∘ , как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов \uD835\uDC34 и \uD835\uDC35? 46∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC37 Ответ: 67. Вариант 8.5.2. В выпуклом четырёхугольнике \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC36\uD835\uDC37 биссектрисы углов \uD835\uDC34 и \uD835\uDC36 параллельны, а биссектрисы углов \uD835\uDC35 и \uD835\uDC37 пересекаются под углом 48∘ , как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов \uD835\uDC34 и \uD835\uDC35? 48∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC37 Ответ: 66. Вариант 8.5.3. В выпуклом четырёхугольнике \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC36\uD835\uDC37 биссектрисы углов \uD835\uDC34 и \uD835\uDC36 параллельны, а биссектрисы углов \uD835\uDC35 и \uD835\uDC37 пересекаются под углом 44∘ , как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов \uD835\uDC34 и \uD835\uDC35? 49 44∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC37 Ответ: 68. Вариант 8.5.4. В выпуклом четырёхугольнике \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC36\uD835\uDC37 биссектрисы углов \uD835\uDC34 и \uD835\uDC36 параллельны, а биссектрисы углов \uD835\uDC35 и \uD835\uDC37 пересекаются под углом 42∘ , как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов \uD835\uDC34 и \uD835\uDC35? 42∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC37 Ответ: ","type":"unstyled","key":"3l3l5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"69. Вариант 8.6.1. Натуральное число \uD835\uDC5B таково, что значение выражения \uD835\uDC5B 2 + 492 является точным квадратом. (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение \uD835\uDC5B. (б) (2 балла) Чему может быть равно \uD835\uDC5B? Укажите все возможные варианты. Ответ: \uD835\uDC5B = 38; 122. Вариант 8.6.2. Натуральное число \uD835\uDC5B таково, что значение выражения \uD835\uDC5B 2 + 516 является точным квадратом. (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение \uD835\uDC5B. (б) (2 балла) Чему может быть равно \uD835\uDC5B? Укажите все возможные варианты. 50 Ответ: \uD835\uDC5B = 40; 128. Вариант 8.6.3. Натуральное число \uD835\uDC5B таково, что значение выражения \uD835\uDC5B 2 + 564 является точным квадратом. (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение \uD835\uDC5B. (б) (2 балла) Чему может быть равно \uD835\uDC5B? Укажите все возможные варианты. Ответ: \uD835\uDC5B = 44; 140. Вариант 8.7.1. Сколько существует способов расположить в ряд \uD835\uDC5B крестиков и 13 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если (а) (2 балла) \uD835\uDC5B = 27; (б) (2 балла) \uD835\uDC5B = 26? Ответ: (а) 14. (б) 105. Вариант 8.7.2. Сколько существует способов расположить в ряд \uD835\uDC5B крестиков и 14 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если (а) (2 балла) \uD835\uDC5B = 29; (б) (2 балла) \uD835\uDC5B = 28? Ответ: (а) 15. (б) 120. Вариант 8.7.3. Сколько существует способов расположить в ряд \uD835\uDC5B крестиков и 12 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если (а) (2 балла) \uD835\uDC5B = 25; (б) (2 балла) \uD835\uDC5B = 24? Ответ: (а) 13. (б) 91. Вариант 8.7.4. Сколько существует способов расположить в ряд \uD835\uDC5B крестиков и 11 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если (а) (2 балла) \uD835\uDC5B = 23; (б) (2 балла) \uD835\uDC5B = 22? Ответ: (а) 12. (б) 78. Вариант 8.8.1. Дан треугольник \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC36, в котором ∠\uD835\uDC34 = 42∘ и \uD835\uDC34\uD835\uDC35 < \uD835\uDC34\uD835\uDC36. Точка \uD835\uDC3E на стороне \uD835\uDC34\uD835\uDC36 такова, что \uD835\uDC34\uD835\uDC35 = \uD835\uDC36\uD835\uDC3E. Точки \uD835\uDC43 и \uD835\uDC44 — середины отрезков \uD835\uDC34\uD835\uDC3E и \uD835\uDC35\uD835\uDC36 соответственно. ","type":"unstyled","key":"8em9q"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Сколько градусов составляет угол \uD835\uDC34\uD835\uDC36\uD835\uDC35, если известно, что ∠\uD835\uDC43\uD835\uDC44\uD835\uDC36 = 110∘ ? 51 42∘ 110∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC3E \uD835\uDC43 \uD835\uDC44 Ответ: 49. Вариант 8.8.2. Дан треугольник \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC36, в котором ∠\uD835\uDC34 = 44∘ и \uD835\uDC34\uD835\uDC35 < \uD835\uDC34\uD835\uDC36. Точка \uD835\uDC3E на стороне \uD835\uDC34\uD835\uDC36 такова, что \uD835\uDC34\uD835\uDC35 = \uD835\uDC36\uD835\uDC3E. Точки \uD835\uDC43 и \uD835\uDC44 — середины отрезков \uD835\uDC34\uD835\uDC3E и \uD835\uDC35\uD835\uDC36 соответственно. Сколько градусов составляет угол \uD835\uDC34\uD835\uDC36\uD835\uDC35, если известно, что ∠\uD835\uDC43\uD835\uDC44\uD835\uDC36 = 110∘ ? 44∘ 110∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC3E \uD835\uDC43 \uD835\uDC44 Ответ: 48. Вариант 8.8.3. Дан треугольник \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC36, в котором ∠\uD835\uDC34 = 46∘ и \uD835\uDC34\uD835\uDC35 < \uD835\uDC34\uD835\uDC36. Точка \uD835\uDC3E на стороне \uD835\uDC34\uD835\uDC36 такова, что \uD835\uDC34\uD835\uDC35 = \uD835\uDC36\uD835\uDC3E. Точки \uD835\uDC43 и \uD835\uDC44 — середины отрезков \uD835\uDC34\uD835\uDC3E и \uD835\uDC35\uD835\uDC36 соответственно. Сколько градусов составляет угол \uD835\uDC34\uD835\uDC36\uD835\uDC35, если известно, что ∠\uD835\uDC43\uD835\uDC44\uD835\uDC36 = 110∘ ? 46∘ 110∘ ? \uD835\uDC34 \uD835\uDC35 \uD835\uDC36 \uD835\uDC3E \uD835\uDC43 \uD835\uDC44 Ответ: 47. Вариант 8.8.4. Дан треугольник \uD835\uDC34\uD835\uDC35\uD835\uDC36, в котором ∠\uD835\uDC34 = 48∘ и \uD835\uDC34\uD835\uDC35 < \uD835\uDC34\uD835\uDC36. Точка \uD835\uDC3E на стороне \uD835\uDC34\uD835\uDC36 такова, что \uD835\uDC34\uD835\uDC35 = \uD835\uDC36\uD835\uDC3E. Точки \uD835\uDC43 и \uD835\uDC44 — середины отрезков \uD835\uDC34\uD835\uDC3E и \uD835\uDC35\uD835\uDC36 соответственно. Сколько градусов составляет угол \uD835\uDC34\uD835\uDC36\uD835\uDC35, если известно, что ∠\uD835\uDC43\uD835\uDC44\uD835\uDC36 = 110∘ ?","type":"unstyled","key":"6o7bq"},{"data":{"image":{"id":"6570a85f4c41d70d9ad743dd"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"147cv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"unstyled","key":"bvm97"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"marker","key":"p1dohlKJX1za5DL99JpF"}],"entityMap":{"0":{"data":{"href":"https://100ballnik.com/product/7-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%B1%D1%80%D1%8F-2023-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81/","url":"https://100ballnik.com/product/7-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%B1%D1%80%D1%8F-2023-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81/"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"1":{"data":{"href":"https://100ballnik.com/product/7-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%B1%D1%80%D1%8F-2023-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81/","url":"https://100ballnik.com/product/7-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%B1%D1%80%D1%8F-2023-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81/"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"2":{"data":{"href":"https://100ballnik.com/product/7-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%B1%D1%80%D1%8F-2023-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81/","url":"https://100ballnik.com/product/7-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%B1%D1%80%D1%8F-2023-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81/"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"3":{"data":{"href":"https://100ballnik.com/product/7-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%B1%D1%80%D1%8F-2023-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81/","url":"https://100ballnik.com/product/7-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%B1%D1%80%D1%8F-2023-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81/"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"4":{"data":{"href":"https://100ballnik.com/product/7-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%B1%D1%80%D1%8F-2023-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81/","url":"https://100ballnik.com/product/7-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%B1%D1%80%D1%8F-2023-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81/"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"}}},"mentions":[]}