Перед вами три шкатулки. Или коробки.
В одной лежит два конверта. В каждом из них - билет на музыкальный фестиваль Time Warp в Германии. Всё оплачено с перелётом и проживанием!
В другой коробке - также лежит лежит два конверта, но в каждом из них не билет, а записка: "Если у Вас в руках билет на Time Warp - верните его назад! Не расстраивайтесь, возьмите мандаринку на стойке регистрации."
В третьей коробке также лежат два конверта, в одном лежит билет на Time Warp, в другом - записка требованием возврата билета.
Итак, вы должны выбрать коробку и случайно вытащить из неё один конверт.
Итак! Вы вытягиваете билет на Time Warp! Мои поздравления! К сожалению, игру нельзя закончить в этот момент! Надо сделать выбор ещё один раз. Вы можете вытащить второй конверт из той же самой коробки, а можете поменять коробку. Откуда надо вытаскивать конверт?
Чисто интуитивно, кажется, что вряд ли вам так повезло, что второй конверт окажется тоже с билетом и надо поменять коробку.
Но на самом деле, всё наоборот. Если Вы вытащили именно билет, то с вероятностью 2/3 второй конверт тоже будет "выигрышным" и коробку менять не надо.
Не верите?
Смотрите.
Пусть Билет - это Б, а Мандаринка - это М.
Коробки:
Б Б
Б М
М М
Вы вытащили один билет (из трёх), и лежать этот билет может на трёх различных местах, так?
Он может лежать в коробке ББ (и быть первой Б или второй), а может лежать в коробке БМ.
Тогда, мы должны разобрать три случая при заданной расстановке коробок. При любой другой перестановке коробок ситуация повторится. Итак, поставим коробки как было показано выше, главное, во всех вариантах рассмотрим именно эту выбранную расстановку. Выбранный билет будем брать в скобки.
Первый вариант
(Б) Б
Б М
М М
Второй вариант
Б (Б)
Б М
М М
Третий вариант
Б Б
(Б) М
М М
Видим, что в двух случаях из трёх, рядом с выбранным билетом лежит ещё один билет. Так что смело тяните из той же коробки.
Всё ещё не верите?!
Тогда давайте сыграем 1000 игр. Случайно разложим в коробки билеты. Куда-то ББ, куда-то БМ (или МБ), куда-то ММ. И будем случайно тянуть любой элемент коробки.
Наша игра начинается.
Если первым вытянем М - игнорируем. Наша игра начинается после вытаскивания первого Б!
Ну а когда вытянем Б, выделим его в скобки (Б), а его соседа выделим стрелочками. Если внутри стрелочек оказался >М< - мы проиграли. Ну а если >Б< - выиграли.
Сколько раз из 1000 игр мы выиграем, а сколько проиграем?
Пишем программу и проверяем!
Так что, смело тяните второй билет из уже выбранной коробки.
И удачи!
Кстати, этот пример называется "Коробки Бертрана".
А вот другой пример.
Перед вами снова три коробки.
Но в одной из них - билет на Байкал в труднодоступные "Байкальские Дюны", куда пароход ходит два раза в неделю и где потрясающие "ходульные" деревья и уникальный пейзаж. Вы можете взять с собой любое количество друзей.
А в двух других - мандаринка.
Вы зажмуриваете глаза и делаете выбор коробки!
"Я выбираю коробку N1!"
И тут ведущий (всё это время рядом стоял ведущий, вы не заметили?) говорит:
"Постойте! Прежде, чем мы откроем первую коробку, я сам открою коробку N2"
Ведущий открывает коробку 2 и в ней ... Мандаринка!
И теперь ведущий говорит: "Вы можете изменить свой выбор! Открываем коробку N1 или меняем на N3?"
Что будете делать?
Подумайте как следует!
Кажется, что шанс вытащить путешествие теперь составляет 0,5.
Но это не так!
Достаточно выписать варианты. Билет может лежать в первой, второй или третьей коробке. Мы пока что выбрали первую:
Б М М
М Б М
М М Б
Зачеркнём выбранную ведущим мандаринку. Пусть она всегда в первых двух случаях будет в коробке N3, а в третьем случае - в N2.
Б М М
М Б М
М М Б
Теперь в каждом из случаев Поменяем свой выбор. Напомню, изначально мы выбирали N1.
Но теперь выберем вторую оставшуюся коробку (не N1) и посмотрим что мы получим.
Б М М (Получили М)
М Б М (Получили Б)
М М Б (Получили Б)
А теперь в каждом из случаев, будем оставлять выбор прежним.
Б М М (Получили Б)
М Б М (Получили М)
М М Б (Получили М)
Как видно, если менять выбор коробки, то в 2-х случаях из 3-х мы выиграем, а если не менять, то наоборот!
Ну а если вы и тут не верите, вот вам симуляция 1000 игр с заданными условиями. Каждый раз мы выбираем коробку, ведущий открывает другую, а мы меняем свой исходный выбор. И выигрываем гораздо чаще, чем проигрываем.
Этот парадокс называется парадоксом Монти-Холла.
Ну и напоследок
Парадокс про азартные игры.
Перед вами две коробки.
В одной 100 купюр по 10 рублей (средний номинал купюры 10 рублей)
В другой 100 купюр по 50 рублей (средний номинал купюры 50 рублей)
Средний номинал купюры в двух коробках составляет (100*10+100*50)/200 = 30.
Предлагаю вам игру:
Ставим коробки на крутящийся диск, завязываем вам глаза и вы вытаскиваете любую купюру из любой коробки (диск крутится и вы не знаете из какой вытаскиваете). Каждый ход стоит 30 рублей.
Ход стоит 30 рублей. И средний выигрыш 30 рублей.
Получается, играть можно, но без интереса. Средний результат будет нулевой.
Хорошо. А теперь добавим кое-что в наши коробки.
Добавим в первую коробку 2 купюры по 5 рублей. Теперь там 100 купюр по 10 рублей и 2 купюры по 5 рублей. Теперь в первой коробке средний номинал купюры стал: 1010/102 = 9,90 руб.
А был 10 руб. Стало хуже.
Во вторую коробку добавим 10 купюр по 40 рублей (пусть такие существуют). Теперь в ней 100 купюр по 50 рублей и 10 купюр по 40 рублей. Средний номинал купюры составляет теперь: 5400/110=49,09 руб.
А был 50 руб. В этой тоже стало хуже.
Итак, в каждой коробке средний номинал купюры уменьшился.
Если цена каждого хода игры сохранится прежней (30 рублей), стоит ли продолжать играть с надеждой остаться в выигрыше? Иными словами, может ли так получиться, что среднее из всех купюр в двух коробках вместе - выросло?
Думаете, что нет? А вы посчитайте!