Задача: Боковые стороны трапеции равны с. В неё вписана окружность радиуса r. Найдите отрезок, соединяющий точки её касания с боковыми сторонами трапеции.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём радиус OH к касательной AD, а также проведём AO и OD. Поскольку центр окружности лежит на пересечении биссектрис, то AO и OD - отрезки биссектрис, тогда ∠BAO = ∠DAO = 1/2 *∠BAD и ∠CDO = ∠ADO = 1/2 * ∠CDA, но так как трапеция ABCD равнобедренная, то ∠BAD = ∠CAD ⇒ ∠DAO = ∠ADO ⇒ △AOD - равнобедренный, тогда по св-у р/б треугольника высота OH является медианой и биссектрисой ⇒ AH = HD. Пусть F - точка пересечения окружности с касательной BC, тогда аналогично BF = FC.
По теореме отрезков касательных AM = AH, HD = DN ⇒ AM = AH = HD = DN. По этой же теореме BM = BF, CF = CN ⇒ BM = BF = CF = CN (см рисунок)
Итак, BM = CN и AM = DN ⇒ BM/AM = CN/ND, тогда поскольку BC∥AD, то по обратной теореме об отрезках касательных MN∥BC∥AD ⇒ FH⟂MN. Пусть G - точка пересечения FH и MN, тогда OG высота в △MON. OM = ON = r ⇒ △MON - равнобедренный по определению ⇒ по св-у р/б треугольника MG = GN.
Через центр окружности проведём прямую, параллельную основаниям трапеции, она пересечет боковые стороны AB и CD в точках L и K. Поскольку FH - диаметр, то OF = OH = r. Тогда поскольку BC∥LK∥AD, то по теореме Фалеса AL = BL и CK = DK ⇒ LK - средняя линия ⇒ LK = (AD + BC)/2.
По св-у описанного четырёхугольника AD + BC = AB + CD ⇒ AD + BC = 2c ⇒ LK = c (см. рисунок)
Рассмотрим прямоугольные △LMO и △KNO:
- OM = ON = r
- ∠MLO = ∠NKO (∠MLO = ∠BAD как соответственные при пересечении AD∥LK секущей AB; ∠CKL = ∠CDA как соответственные при пересечении AD∥LK секущей CD; ∠BAD = ∠CDA)
⇒ △LMO = △KNO по катету и острому углу ⇒ все соответственные элементы равны ⇒ OL = OK = c/2.
Рассмотрим прямоугольные △LMO и △OGM:
- ∠LOM = ∠OMG (как накрест лежащие при пересечении LK∥MN секущей MO)
⇒ △LMO ~ △OGM по I признаку подобия треугольников ⇒ MG/OM = OM/OL ⇒ MG = (OM^2)/OL = (r^2)/(1/2 * c) = (2r^2)/c. MN = MG + NG = (2r^2)/c + (2r^2)/c = (4r^2)/c.
Ответ: (4r^2)/c.
Задача решена.