Задача: В сектор круга радиуса R вписана окружность. Найдите её радиус, если стягивающая сектор хорда равна m. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Проведём биссектрису OC, она пройдёт через центр вписанной окружности O1, пусть K - точка пересечения OC и AB. Поскольку △AOB равнобедренный (OA = OB = R), то биссектриса OK будет являться высотой и медианой. Проведём радиус O1M к касательной AB, O1M обозначим за r. (см рисунок) Рассмотрим прямоугольные △OMO1 и △OKA: ⇒ △OMO1 ~ △OKA по I признаку подобия треугольников ⇒ O1M/AK = OO1/OA⇒ r/(m/2) = (R-r)/R 2r/m = (R-r)/R 2Rr = mR - mr 2Rr + mr = mR r(2R + m) = mR r = mR/(2R+m) Ответ: mR/(2R+m). Задача решена.
Задача: В сектор круга радиуса R вписана окружность. Найдите её радиус, если стягивающая сектор хорда равна m.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём биссектрису OC, она пройдёт через центр вписанной окружности O1, пусть K - точка пересечения OC и AB. Поскольку △AOB равнобедренный (OA = OB = R), то биссектриса OK будет являться высотой и медианой. Проведём радиус O1M к касательной AB, O1M обозначим за r. (см рисунок)
Рассмотрим прямоугольные △OMO1 и △OKA:
- ∠AOK - общий
⇒ △OMO1 ~ △OKA по I признаку подобия треугольников ⇒ O1M/AK = OO1/OA⇒
r/(m/2) = (R-r)/R
2r/m = (R-r)/R
2Rr = mR - mr
2Rr + mr = mR
r(2R + m) = mR
r = mR/(2R+m)
Ответ: mR/(2R+m).
Задача решена.