Задача: Прямая, параллельная гипотенузе египетского треугольника, касается вписанной в него окружности. Найдите отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Рассмотрим прямоугольные △ABC и △KBP: ⇒ △ABC ~ △KBP по I признаку подобия треугольников ⇒ KP/AC = k; KP = AC * k. Найдём коэффициент подобия k через периметры треугольников: Тогда KP = AC * k = 5 * 1/6 = 5/6. Ответ: 5/6. Задача решена.
Задача: Прямая, параллельная гипотенузе египетского треугольника, касается вписанной в него окружности. Найдите отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим прямоугольные △ABC и △KBP:
- ∠BAC = ∠BKP (как соответственные при пересечении AC∥KP секущей AB)
⇒ △ABC ~ △KBP по I признаку подобия треугольников ⇒ KP/AC = k; KP = AC * k. Найдём коэффициент подобия k через периметры треугольников:
- P△ABC = 3 + 4 + 5 = 12.
- По теореме расстояния от вершины угла до точек касания с окружностью P△KBP = BM + BN. BM = BN = (4+3-5)/2 = 1. P△KBP = 1+1 = 2.
- k = P△KBP/P△ABC = 2/12 = 1/6.
Тогда KP = AC * k = 5 * 1/6 = 5/6.
Ответ: 5/6.
Задача решена.