Привет, друзья! Сегодня хочу вам рассказать о некоторых элементах математической стройки. Слово "стройка" здесь совершенно не случайно. Оно очень хорошо передаёт суть математической теории приближения функций.
Действительно, давайте разберемся в том, как происходит строительство дома. Сначала заказчик рисует эскиз, далее архитектор прорабатывает детали и создаёт проект дома, а затем строители из имеющихся материалов ( кирпичей, блоков, дерева) создают готовый дом. Готовый дом - очень близкая копия первоначального эскиза, созданная из одинаковых, простых элементов.
Теперь обратимся к математике. Пусть у нас имеется некая функция. Это эскиз для будущей стройки.
Функция - это соответствие между элементами двух множеств, правило, по которому каждому элементу первого множества ставится только один элемент из другого множества. Например, каждому человеку можно поставить в соответствие его дату рождения.
Функция может быть задана формулой (аналитическое представление), графиком или таблицей. Термин "функция" был впервые использован Лейбницем(1692), а общее определение функции для числовых множеств было дано моим тёзкой, Н.И. Лобачевским(1834).
В школе мы изучаем элементарные функции - материалы для стройки. Степенная функция y=x^n - это наш строительный кирпич, тригонометрические функции y=sin x и y=cos x - сосновый брус.
Используемый строительный материал должен быть простым, удобным, с хорошо изученными свойствами. Всеми этими качествами обладают функции 1, x, x², x³,..., x^n, sin x, cos x.
Если теперь сложить кирпичики между собой, то получим некоторую конструкцию:
Эта конструкция в математике называется многочленом степени n.
В ходе строительства мы должны создать не произвольную конструкцию, а сооружение, соответствующее первоначальному эскизу. Аналогично с математическим строительством в теории приближения функций: мы должны подобрать такой многочлен степени n( набор кирпичей), чтобы он максимально точно приближал исходную функцию (эскиз).
Эскиз- это довольно образное представление дома, а потому чтобы перейти к стройке, необходим архитектурный проект- детальное представление эскиза. Для сложной математической функции, заданной на отрезке [а, b], архитектурным проектом будет ее представление в виде таблицы значений в некоторых узлах:
Таблица значений определяет новую, более простую функцию, которая называется сеточной функцией. Сеточная функция( наш архитектурный проект) достаточно проста и совпадает с исходной функцией в узлах ( точках x1, x2, ..., xn). Самое главное, она хорошо приближается многочленами степени n с некоторыми коэффициентами( собирается из наших кирпичей).
На рисунке я изложил все основные этапы математической стройки схематично:
На сегодня это всё, но стройка только начинается😉, будет продолжение.
До новых встреч! 🐻🎄🎄🎄🍊🍊🍊
#математика
#теория_приближения_функций
#теория_приближения