Самое маленькое такое четное число n > 6 есть 8. Очевидно, 8 = 3 + 5, 3 < 4, 5 > 4. Следующее такое четное число есть 10. Очевидно, 10 = 3 + 7, 3 < 5, 7 > 5 и т. д. Пусть для достаточно большого четного числа n > 6 нашлась пара простых чисел p, p' такая, что p + p' = n, а для n + 2 нет пары простых чисел p, p' таких, что p + p' = n + 2. Тогда по аксиоме спуска и для n нет такой пары простых чисел, что противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает утверждение.
Например, возьмем в качестве n число 18. для n = 18 имеем p < 9, p' > 9. Возможные кандидаты в качестве p: 3, 5, 7, а в качестве p': 11, 13, 17, 19, ... Очевидно, искомыми парами простых чисел p, p' в этом случае будут p = 7, p' = 11 и p = 5, p' = 13. Нетрудно найти, что для n = 30 соответствующими парами p, p' простых чисел будут: p =7, p' = 23, p = 11, p' =19 и p = 13, p' = 17. Очевидно, с ростом четного числа n число таких пар простых чисел p, p' может только расти. С уважением, Б. С. Кочкарев