Задача: На сторонах AB и BC треугольника ABC выбрали произвольные точки M и K. Через них параллельно прямым CK и AM провели прямые, которые пересекли стороны AB и BC в точках P и Q. Докажите, что прямые PQ и AC параллельны.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим △ABM и △KBP:
- ∠B- общий
- ∠BKP = ∠BAM (как соответственные при пересечении AM∥KP секущей AB)
⇒ △ABM ~ △KBP по I признаку подобия треугольников ⇒ BK/AB = BP/BM ⇒ BP = BM * BK/AB.
Рассмотрим △QBM и △KBC:
- ∠B- общий
- ∠BMQ = ∠BCK (как соответственные при пересечении QM∥CK секущей BC)
⇒ △QBM ~ △KBC по I признаку подобия треугольников ⇒ BM/BC = BQ/BK ⇒ BQ = BM * BK/BC.
Рассмотрим △ABC и △QBP:
- ∠B- общий
- BQ/AB = BP/BC = BM * BK/(AB * BC)
⇒ △ABC ~ △QBP по II признаку подобия треугольников ⇒ все соответственные углы треугольников равны ⇒ ∠BQP = ∠BAC. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны ⇒ QP∥AC.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.