Решение полных квадратных уравнений через дискриминант

Любое квадратное уравнение так или иначе имеет одинаковый вид:

Общий вид квадратных уравнений

Меняться могут только значения чисел a, b и c (по-другому мы их называем числовые коэффициенты). Квадратные уравнения можно разделить на полные (когда присутствуют все три числовых коэффициента) и неполные (когда отсутствует либо коэффициент b либо c). В данной статье поговорим только о полных квадратных уравнениях.

Примеры полных квадратных уравнений

Чтобы ввести формулы, с помощью которых мы будем решать квадратные уравнения, рассмотрим конкретный пример

Для простоты понимания первое время можно выписывать значения числовых коэффициентов, так и сделаем. Итак, если посмотреть на общий вид квадратного уравнения, то мы увидим, что a ─ это число, которое стоит в паре с икс во второй степени (или иначе можно сказать с икс в квадрате), b ─ в паре с x и с ─ это самостоятельное число. Значит а = 5, b = 6, c = 1.

Теперь необходимо посчитать так называемый дискриминант по следующей формуле

a, b и c - это числовые коэффициенты, которые мы выписали выше

Подставляем числовые коэффициенты, которые мы выписали выше, в формулу и находим значение D

По значению дискриминанта можно выяснить, сколько корней будет иметь квадратное уравнение:

• если дискриминант положительный (D > 0), то корней два;
• если дискриминант равен 0 (D = 0), то корень один;
• если дискриминант отрицательный (D < 0), то корней нет.

В нашем случае D положительный, значит мы будем искать два корня. Нам больше понадобится не сам дискриминант, а квадратный корень из дискриминанта, поэтому находим

Чтобы извлечь квадратный корень из 16 необходимо подобрать число, которое в квадрате, то есть во второй степени, образует 16, это и есть 4

Теперь, чтобы найти корни уравнения, воспользуемся формулами

Найдём первый корень, для этого подставим числовые коэффициенты в формулу

Найдём второй корень

Получили ответ: корнями уравнения являются числа -0,2 и -1

Разберём ещё один пример

Чтобы определить числовые коэффициенты, нужно понимать, что данное уравнение можно представить в виде суммы

Тогда: a = 1, b = -2, c = 1

Найдём дискриминант

Дискриминант равен 0. Следовательно, у уравнения будет один корень, который вычисляется по формуле

Как видим, данная формула отличается от двух предыдущих только отсутствующим корнем из дискриминанта (так как D = 0 и, следовательно, нет смысла прибавлять его или отнимать, он никак не влияет на значение числителя). А в остальном всё осталось без изменений. Найдём корень уравнения

Получили ответ 1.

Дополнительная формула дискриминанта

Есть ещё одна формула дискриминанта, для случаев, когда в квадратном уравнении второй коэффициент чётный (то есть делится на 2). Для начала нам нужно найти коэффициент k

Далее находим D и корни уравнения по формулам

Для случая, если D = 0 и у уравнения один корень

Рассмотрим пример

a = 3, b = - 10, с = - 8

Найдём k

Найдём D

И найдём корни

Для тренировки, попробуйте решить следующие уравнения

Ответы:

1) -1,5 и -1

2) 3

3) -4 и 1

4) Корней нет

5) 18 и -2