В первой части статьи были рассмотрены примеры решения иррациональных неравенств с помощью следующих равносильных преобразований:
В данной статье рассмотрим неравенства, в которых помимо квадратного корня присутствуют другие функции, содержащие переменную, а также неравенства, в которых сравниваются два корня.
Иррациональное нер-во вида √f(x) > √g(x)
Так как функция y=√x монотонно возрастающая, то для решения исходного неравенства необходимо с тем же знаком сравнить подкоренные выражения. Также нужно меньший корень (как будто "нижнюю границу") проверить на существование, т.е. подкоренное выражение меньшего корня должно быть неотрицательно.
Рассмотрим пример:
Для решения данного неравенства применим равносильное преобразование: проверяем меньший корень на существование, а также сравниваем подкоренные выражения с исходным знаком неравенства.
❓ Но как быть, если знак неравенства противоположный? ❓ (Иногда ученики в школе и на доп.занятиях задают этот вопрос)
В таком случае необходимо просто "прочитать" неравенство в обратную сторону и неравенство станет таким же, как в карточке 😄
Да, конечно, можно сразу составить равносильную систему и решить исходное неравенство, ничего не переписывая в обратную сторону. Но если пока что иррациональные неравенства вызывают трудности, то такой способ поможет облегчить задачу, так как выучить нужно будет только одно равносильное преобразование вместо двух (только √f(x) > √g(x) без √f(x) < √g(x)).
Иррациональное нер-во вида √f(x) > g(x)
Данное неравенство по своей сути похоже на неравенство √f(x) > а, которое было рассмотрено в первой части статьи.
Приведу скриншот с описанием неравенства √f(x) > а из первой статьи. Для рассматриваемого сейчас неравенства √f(x) > g(x) алгоритм будет практически совпадать. Отличие лишь в том, что корень сравнивается с функцией, содержащей переменную, а не числом, а также, что во второй системе в совокупности допускается равенство нулю функции g(x), а в первой статье случай равенства числа а нулю рассматривался отдельно.
Рассмотрим пример:
Для решения неравенства необходимо составить совокупность, состоящую из двух систем. В первой системе рассматриваем случай, когда функция, с которой сравнивается корень, положительна, во второй, соответственно, когда эта функция меньше либо равна нулю. Ответом будет являться объединение множеств решений каждой из систем совокупности.
Иррациональное нер-во вида √f(x) < g(x)
Квадратный корень может быть меньше функции только при положительных значениях самой функции. Также необходимо проверить,что корень существует, т.е. подкоренное выражение неотрицательно ("создать нижнюю границу", чтобы не уйти в отрицательные значения, скажем так😝). И последнее, чтобы решить неравенство, нужно обе части возвести в квадрат с сохранение знака неравенства.
Рассмотрим пример:
Для решения неравенства должны одновременно выполняться 3 условия (по равносильному преобразованию, описанному ранее). Решаем получившуюся систему и находим ответ✨
Иррациональное нер-во вида f(x)*√g(x) >=0
Для решения неравенства необходимо рассмотреть 2 случая. Если подкоренное выражение равно нулю, то всё произведение также равно нулю, при условии, что оставшиеся множители, содержащие переменную существуют. Равенство нулю произведения удовлетворяет исходному неравенству. Также подходит вариант, когда корень существует (и не равен нулю, так как этот случай рассмотрели отдельно), а оставшиеся множители принимают неотрицательные значения.
Рассмотрим пример:
Неравенство верно, когда подкоренное выражение равно нулю и при этом дробь существует, т.е. знаменатель не равен нулю. Также подойдёт вариант, когда дробь принимает неотрицательные значения, а корень существует и принимает значения,большие нуля. Решаем совокупность и получаем ответ.✨
Задания для самостоятельного решения
Первая часть статьи про иррациональные неравенства
Больше полезного в ТГ-канале ✅
Понравилось? 😉 Ставь 👍 и не забудь подписаться!
Также полезна может быть статья про иррациональные уравнения✨