Задача: Угол A треугольника ABC равен 45°, а на стороне BC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB и AC в точках K и L. Найдите отношение площадей треугольников АВС и AKL.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём отрезки BL и CK. Поскольку ∠BLC и ∠CKB опираются на диаметр, то ∠BLC = ∠CKB = 90° ⇒ треугольники △ALB и △CKA - прямоугольные. В прямоугольном △ALB: AL = AB * cos 45° = AB√2/2. В прямоугольном △CKA: AK = AC * cos 45° = AC√2/2 (см рисунок)
Поскольку у △ABC и △AKL есть общий угол A, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих данный угол A ⇒ △ABC : △AKL = (AB * AC) : (AK * AL) = (AB * AC) : (AC√2/2 * AB√2/2) = 1 : (2/4) = 2 : 1.
Ответ: 2 : 1.
Задача решена.