Задача: В четырёхугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника. Найдите сторону ромба, если длины его диагоналей равны 6 и 12. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Пусть сторона ромба равна x, диагональ AC = 6, а BD =12. Рассмотрим △ABC и △MBN: ⇒ △ABC ~ △MBN по I признаку равенства треугольников ⇒ x/6 = BN/BC ⇒ x=6BN/BС. Рассмотрим △BCD и △NCK: ⇒ △BCD ~ △NCK по I признаку равенства треугольников ⇒ x/12 = CN/BC ⇒ x=12CN/BC. Итак, x = 6BN/BС и x = 12CN/BC, приравняем правые части выражений: 6BN/BС = 12CN/BC | *BC 6BN = 12CN BN = 2CN BC = BN + CN = 2CN + CN = 3CN ⇒ x = 12CN/BC = 12CN/3CN = 4. Ответ: 4. Задача решена.
Задача: В четырёхугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника. Найдите сторону ромба, если длины его диагоналей равны 6 и 12.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть сторона ромба равна x, диагональ AC = 6, а BD =12.
Рассмотрим △ABC и △MBN:
- ∠B - общий
- ∠BAC = ∠BMN (как соответственные при пересечении MN∥AC и секущей BA)
⇒ △ABC ~ △MBN по I признаку равенства треугольников ⇒ x/6 = BN/BC ⇒ x=6BN/BС.
Рассмотрим △BCD и △NCK:
- ∠C - общий
- ∠CNK = ∠CBD (как соответственные при пересечении BD∥NK и секущей BC)
⇒ △BCD ~ △NCK по I признаку равенства треугольников ⇒ x/12 = CN/BC ⇒ x=12CN/BC.
Итак, x = 6BN/BС и x = 12CN/BC, приравняем правые части выражений:
6BN/BС = 12CN/BC | *BC
6BN = 12CN
BN = 2CN
BC = BN + CN = 2CN + CN = 3CN ⇒ x = 12CN/BC = 12CN/3CN = 4.
Ответ: 4.
Задача решена.