Теорема Пифагора, основное тригонометрическое тождество, расстояние между точками на плоскости, уравнение окружности - в общем, вы поняли, что всё это попадается школьникам по отдельности. Но насколько справедливо будет утверждать, что многие из них понимают взаимосвязь? Большинство из них, конечно, догадываются, что какая-то связь есть (символы похожие пишут), но не более.
Мне тут припомнили мою собственную цитату:
Правильно преподанная математика учит всему этому ненавязчиво, не акцентируя на этом внимания - то есть школьник думает, что изучает какие-то отдельные темы, складывает какие-то числа, умножает буквы; тогда как на самом деле он учится логически грамотно рассуждать и в итоге сам видит связи.
И отсюда логично следует, что если школьник не видит связи между очевидно похожими вещами, то и математику ему преподали неправильно! Ну либо он сам туповат, но это редкость и не считается, как бы ни обвиняли меня в том, что я уверен в обратном.
Я встречал школьников, которые учат основное тригонометрическое тождество наизусть и не могут ответить на вопрос о том, откуда оно взялось. При этом они в состоянии его (и другие тригонометрические формулы) применить, решают задачи с преобразованиями - они не тупые, они просто не задумываются над смыслом собственных действий. Почему так получилось? Как можно заниматься тригонометрией, не понимая, что и откуда в ней взялось?
Подход №1. Геометрический
Возникает в конце 8 (или начале 9) класса. Синус и косинус определяются как отношения катетов к гипотенузе прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество вполне естественным образом становится следствием теоремы Пифагора: делим обе части на квадрат гипотенузы и без проблем убеждаемся, что с другой стороны образовались квадраты синуса и косинуса. Красота!
Как можно в 11 классе не видеть эту связь, если её рассказали и она была осознана ещё в 9?
Подход №2. Алгебраический
В обычной школе тригонометрические функции появляются только в 10 классе, но тем не менее не может быть сомнений, что связь "новых" синуса и косинуса со "старыми", пройденными в геометрии, показывает любой учитель. А так как синус и косинус в алгебраическом определении - это координаты точки на единичной окружности, то и здесь ясна связь основного тригонометрического тождества с уравнением окружности.
Почему же будущий выпускник, потенциальный абитуриент сильнейших ВУЗов страны, щёлкающий ЕГЭшные задачки по тригонометрии, как орешки, не может этой связи увидеть?
Ответ простой и понятный. Непонятно только одно: как изменить ситуацию? Как добиться того, чтобы все неплохие средние ученики видели связи между якобы разными понятиями, которые на самом деле одинаковые? Как объяснить людям в интернете, что понимать математику - это норма, а не таинство, доступное тем немногим избранным, которых они в школе травили и обзывали "ботаниками"?
И вот если мы все вместе осознаем важность этого вопроса и ответа на него, то, возможно, всем миром нам удастся на него ответить и что-то изменить в школе. Чтобы новые поколения учеников росли в понимании, что математика - это не сухие формулы и (обожаю эту формулировку от Владимира Тер-Григоряна) "решаем задачи 239-го типа 533-м методом", а логично, красиво и полезно.
Вот как-то так.