В начале XIX века буря романтизма бушевала во всех сферах европейской общественной и культурной жизни. Романтизм был присущ политическому сознанию, философии, науке и искусству. Взрыв романтизма в науке и технике был своеобразной реакцией против механизма XVII и XVIII веков.
Во многом ритм истории определялся маховиком капиталистического производства, и в этом качестве наука продолжала исправно служить его нуждам. Именно поэтому историки науки и культурологи называют XIX век "веком разума".
Одной из ведущих наук XIX века была математика. Новые открытия, исследование функций с помощью интегрального исчисления (особенно эллиптических функций), открыли новые области математического анализа и позволили решать задачи физики с помощью математических методов.
Если в прежние века некоторые проблемы физики часто существовали лишь на уровне гипотез, то в начале XIX века математические методы позволили подтвердить или опровергнуть многие физические гипотезы. Особенно эффективно математические методы использовались в астрономии.
Во Франции в первой половине XIX века активно действовала школа выдающихся геометров, основанная математиком Гаспаром Монжем; один из последователей Г. Монжа, Жан Понле (1788-1867), офицер французского инженерного корпуса, попал в российский плен и более года провел в Саратове, где написал научную работу "Трактат о проективных свойствах фигур".
В первой половине XIX века больших успехов в области математики добились ученые Брюссельской академии. В первой половине XIX века крупных успехов в области математики добились Жерминаль Пьер Дандерен (1794-1847) и профессор Ламбер Адольф Жак Кетле (1796-1874), который популяризировал изучение геометрии в Бельгии; Л. Кетле также прославился как социолог и позитивист В 1847 г., он стал иностранным членом Петербургской Академии наук.
Он показал, что некоторые массовые социальные явления (рождаемость, смертность, преступность и т.д.) имеют определенные закономерности и что к их изучению можно применить математические методы. Больших успехов добился Мишель Шар (1793-1880), опубликовавший "Исторические очерки" и "Два общих принципа науки" - "Заметки о двойственности и гомографии ", которые открыли возможность изучения математических методов.
В 1879 году гамбургский ученый Герман Ганнибал Шуберт (1848-1911) опубликовал свою "Геометрическую теорию счета", в которой были окончательно разработаны математические принципы. Большой вклад в развитие математики внесли немецкие исследователи. Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), профессор из Лейпцига, в 1827 году опубликовал "Барицентрическое исчисление".
Основными его достижениями были исследование новых логарифмов и усовершенствование нотации для упрощения геометрических рассуждений и вычислений. Он также первым предложил новую систему координат. Он установил существование односторонних поверхностей, которые появились в науке под названием "лист Мёбиуса".
Берлинский ученый Якоб Штейнер (1786-1863 гг.) сделал ряд открытий, касающихся свойств кривых и поверхностей. Современники отмечали, что последовательность его открытий была настолько стремительной, что он часто публиковал их в научных журналах без доказательств, что долгое время было серьезной проблемой для исследователей.
В первой половине XIX века научному сообществу стало известно имя
русского профессора из Казани. Н.И. Лобачевский (1792-1856), был тем человеком, который задал новое направление в математике. Его открытия впоследствии перевернули представления о природе пространства, которые более 2000 лет основывались на учении Евклида.
Он оказал огромное влияние на развитие математического мышления. Лобачевский широко известен своими научными трудами по алгебре, математическому анализу, теории вероятностей, механике, физике и астрономии. Его работы были написаны на русском языке и поэтому долгое время оставались неизвестными за рубежом.
Аналитическая геометрия получила большое развитие благодаря профессорам Боннского университета Юлиусу Прюкеру (1801-1868) и Кенигсбергского университета Людвигу Гессе (1811-1874): в 1828 и 1831 годах Юлиус Прюкер опубликовал двухтомные "Аналитические геометрические исследования", в которых впервые изложил однородную систему координат, по сути, идентичную системе координат А.Ф. Мёбиуса.
Успехи Й. Прюкера были связаны и с изучением математической физики. В области алгебры к нему присоединились Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865), преподаватель Тринити-колледжа в Дублине, Герман Глассман (1809-1877), профессор в Щецине, и французский математик Эварист Галлуа (1811-1832), погибший молодым на дуэли, принесли новым ученым новые достижения. Им принадлежит заслуга наглядной интерпретации понятия мнимых величин.
На новом языке в науке заговорил профессор Парижского технологического института Жан-Батист Жозеф Фурье (1768-1830), сделавший важное открытие, что производная функции может быть выражена в терминах тригонометрического ряда.
Ж. Фурье был известен и как выдающийся физик: став академиком в 1817 году, он опубликовал работу "Аналитическая теория теплоты", которая стала отправной точкой для теории тригонометрических рядов, появившейся в научном сообществе под названием "ряд Фурье". Во второй половине XIX века были решены многие проблемы в области алгебры.
В первой половине XIX века важные результаты в других областях математики были достигнуты учеными: в теории функций - норвежцем Нильсом Генрихом Абелем (1802-1829) и профессором Карлом Густавом Якобом Якоби (1804-1851) из Кёнигсберга, в теории чисел, ученый Лежен Дирихле из Дюрена; в механике, ставшей отраслью прикладной математики, - французские ученые Луи Пуансо (1777-1859), Симеон Дени Пуассон (1781-1840) и Габриэль Ламе (1795-1850).