Всем привет, сегодня принес вам задачку на счёт:
Как нам избавиться от корней, чтобы получить значение этого выражения? Давайте посмотрим на самый "вложенный" корень. Пусть под ним находится полный квадрат:
При этом a и b — рациональные числа. Тогда, при возведении в квадрат, получим:
Чуть перепишем:
Так как мы решили, что a и b — рациональные, то можно слагаемые сгруппировать однозначно:
Возведем второе уравнение в квадрат:
Мы знаем, что по сумме и произведению двух рациональных чисел можно однозначно определить эти числа:
Итак, наше выражение равно:
Предположение о полном квадрате подтвердилось! Пойдем дальше:
Уберем корень, получим:
Аналогичным образом расправимся со следующим корнем:
Составим систему::
Корни, опять же, легко подбираются:
Тогда:
Вернемся к рассматриваемому выражению и сделаем еще один маленький шаг:
Остается еще разок применить тот же прием — "закрепить":
Собираем полный квадрат:
И записываем ответ:
На мой взгляд — очень интересная задача и занятный способ избавления от корня. Гораздо проще, чем высматривать полный квадрат. Задача решена — на этом всё. Подписывайтесь на канал, пишите комментарии: математики будет много! Спасибо за внимание!