Идея бесконечности в древнегреческой математике

Часть 2

С частью 1 можно ознакомиться здесь: «Идея бесконечности в древнегреческой математике (часть 1)».

Апории[1] философа Зенона[2] подвергались критике со стороны античных философов и математиков. Диоген Синопский[3], к примеру, обратился к опыту – он ходил вокруг пифоса[4], в котором проводил ночь, опровергая тем самым утверждение о невозможности движения.

Демокрит[5] высказал идею о том, что отношение малых отрезков пути к соответствующим малым промежуткам времени остается конечным и определяет скорость движения. Идея Демокрита была использована Архимедом[6] при создании первых интеграционных приемов вычислений площадей и объемов фигур. Уже гораздо позже, в XVII веке, математики, опираясь на работы Архимеда, пришли к созданию дифференциальных и интегральных исчислений.

Некоторые древнегреческие математики были привержены позициям Анаксагора[7], как, например, Евдокс Книдский[8], автор «метода исчерпывания» и «аксиомы Архимеда».

Большое внимание понятию математической бесконечности уделял Аристотель[9]. Логические сочинения Аристотеля в византийский период были объединены под общим названием «Органон» и служили основой формальной логики. Пространство, согласно Аристотелю, безгранично делимо, непрерывно. Аристотель возражал против использования актуальной бесконечности в науке, ссылаясь на то, что зная способы счета конечного числа объектов, нельзя распространять эти способы на бесконечные множества. Сознавая большие трудности, связанные с понятием бесконечности и с разрешением апорий Зенона, он пытался найти выход и обосновать разрыв между непрерывностью и дискретностью. Выступая против использования понятия движения в математике, Аристотель мотивировал это тем, что наука занимается не самими реальными вещами, а только лишь абстракциями на них. Более того, Аристотель выступал за полное отделение геометрии, науки о непрерывных величинах, от арифметики, науки о дискретных величинах.

Евклид[10], который неявно пользовался понятием о непрерывности линий, придерживался этих же взглядов. Свою геометрию Евклид строил, не прибегая к помощи чисел, а конструктивно («чисто геометрически»). Однако вся геометрия Евклида может быть построена в пространстве, координаты точек которого являются числами.

Апории Зенона интересовали математиков и философов всех времен. Одни считают, что апории, в которых Зенон отрицает движение («Дихотомия», «Ахиллес»), свидетельствуют лишь о том, что Зенон, не имея понятия «предел», не умел суммировать геометрическую прогрессию вроде (1/2+1/"2 в квадрате"+1/"2 в степени 3"+…+1/"2 в степени n"+…) и ошибочно считал, что сумма бесконечно большого числа членов любого, в том числе и сходящегося ряда, должна быть бесконечно большой. Другие ученые признают, что апории Зенона относятся к самым трудным вопросам философии и обоснования математики и физики.

В настоящее время в основе изучения геометрии и математики лежит понятие о вещественном (действительном) числе. Множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности, как и множество точек прямой. Отношение двух любых однородных величин можно выразить вещественным числом. Расширение понятия числа до вещественного и обоснование соответствующей теории были завершены только XIX веке (см. «Развитие понятия числа» и «Аксиомы натуральных чисел»). Греки, имея представление лишь о дискретном множестве чисел при открытии несоизмеримости, в V – VI веках пошли по пути геометризации арифметики и строили общую теорию отношений, аналогичную теории вещественных (действительных) чисел, применяя её к учению о подобии, к вопросам измерения плoщадей и oбъемов и вообще к исследованию непрерывных величин.

[1] Апории – затруднительные положения (парадоксы)

[2] Зенон Элейский (около 490 до н.э. – около 430 до н.э.) – древнегреческий философ.

[3] Диоген Синопский (около 412 до н.э. – 10 июня 323 до н.э.) – древнегреческий философ.

[4] Пифос — большой керамический сосуд для хранения продуктов.

[5] Демокрит Абдерский (около 460 до н.э. – около 370 до н.э.) – древнегреческий философ.

[6] Архимед (287 – 212 годы до н.э.) – древнегреческий учёный и инженер.

[7] Анаксагор (ок. 500 до н.э. – ок. 428 до н.э.) – древнегреческий философ.

[8] Евдокс Книдский (ок. 408 год до н.э. – ок. 355 год до н.э.) – древнегреческий математик и астроном.

[9] Аристотель (384 – 322 годы до н.э.) – древнегреческий философ.

[10] Евклид (примерно 325 – 265 годы до н.э.) – древнегреческий  математик, геометр.

Еще больше занимательного из истории математики и математических историй, задач по математике и ответов к ним здесь: funmath.ru