В данной статье рассмотрим 1-ю часть равносильных преобразований при решении иррациональных неравенств. Напомню, что неравенство является иррациональным, если содержит переменную под знаком корня.
Иррациональное нер-во вида √f(x) ≥ 0
Любой квадратный корень - величина неотрицательная, поэтому в подобных неравенствах достаточно проверить, что корень существует, т.е. подкоренное выражение неотрицательно.
Рассмотрим пример:
Воспользуемся равносильным преобразованием, т.е. для решения неравенства достаточно найти, при каких значениях х квадратный трёхчлен под корнем принимает неотрицательные значения. Решаем квадратное неравенство по методу интервалов и получаем ответ✨
Иррациональное нер-во вида √f(x) ≤ 0
Так как квадратный корень принимает неотрицательные значения, то единственный случай, когда корень может быть неположительным, это когда он равен нулю. Получается, для решения неравенства необходимо приравнять к нулю подкоренное выражение.
Рассмотрим пример:
По равносильному преобразованию единственным случаем,удовлетворяющим неравенству, является значение подкоренного выражения, равное нулю. Решаем квадратное уравнение и получаем ответ к неравенству✨
Теперь рассмотрим, как решать неравенства, в которых корень больше или меньше заданного числа.
Иррациональное нер-во вида √f(x) > а
Чтобы решить такое неравенство необходимо рассмотреть два случая: когда число, с которым сравнивается корень, положительно и когда отрицательно.
Если число положительно, тогда, чтобы неравенство выполнилось, необходимо возвести обе части неравенства в квадрат. Знак неравенства при этом сохраняется и проверять корень на существование (т.е. подкоренное выражение на неотрицательность) не требуется, так как корень по условию больше положительного числа.
Если число отрицательно, то получается, что любой квадратный корень, если он существует, будет больше отрицательного числа. Т.е. нужно проверить, что подкоренное выражение неотрицательно.
Рассмотрим пример:
Квадратный корень строго больше отрицательного числа, поэтому в данном примере достаточно найти, при каких значениях х корень существует. Если он существует, то всегда будет больше отрицательного числа.
Иррациональное нер-во вида √f(x) < а
Квадратный корень меньше числа только в том случае, если число положительное, иначе решений нет. Что бы решить неравенство необходимо возвести обе части в квадрат ( знак неравенства при этом сохранится), а также проверить, что подкоренное выражение неотрицательно.
Рассмотрим пример:
Воспользуемся равносильным преобразованием при решении данного неравенства: проверим, что подкоренное выражение неотрицательно (верно всегда, так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент положительный), а также возведём обе части неравенства в квадрат и сравним полученные выражения с исходным знаком неравенства. Далее решаем получившееся квадратное неравенство и находим ответ✨
Задания для самостоятельного решения
Вторая часть статьи про иррациональные неравенства
Понравилось? 😉 Ставь 👍 и не забудь подписаться!
Больше интересного в ТГ-канале ✅
Также полезна может быть статья про иррациональные уравнения✨