Идея бесконечности в древнегреческой математике

Часть 1

В философии под бесконечностью понимают отсутствие начала и конца во времени и в пространстве. Конечное и бесконечное – это два основных понятия, выражающие неразрывно связанные между собой противоположные стороны объективного мира. Вселенная, природа бесконечны. С понятием бесконечности в философии связано и математическое понятие бесконечности как одной из математических абстракций. Уже на первых ступенях изучения арифметики мы встречаем ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, … В геометрии прямая представляется как бесконечная прямая и т.п.

Уже в VI до н.э. греческие ученые разрабатывали проблему бесконечности и связанную с ней проблему непрерывного и дискретного[1]. Анаксимандр[2] описывает эти проблемы в своем произведении «Апейрон» («Беспредельное»), а Анаксимен[3] – в сочинении «О природе». В сочинении с аналогичным названием Анаксагор[4] понятие бесконечности положил в основу своего мировоззрения. Он писал: «Среди малых величин не существует меньшей, но уменьшение идет непрерывно». Эту мысль Анаксагор дополнил, написав, что «всегда имеется нечто большее, чем то, что большое».

Анаксагор вводит в математику понятие потенциально бесконечно малого и бесконечно большого.

Но если Анаксагор приписывал пространству только непрерывные свойства, то другие ученые создали представление о пространстве как о множестве точек, являющихся неделимыми элементами. Такая концепция отвечала, в частности, духу школы Пифагора[5], в которой развивалось учение о дискретных объектах, а именно о числах. Пифагорейцы[6] долгое время считали возможным распространить свое учение о целочисленной основе всего существующего и на геометрические величины.

Открытие несоизмеримости, которое явно показало различие между дискретной природой рациональных чисел и непрерывной природой геометрических величин, привело к большим трудностям, связанным с понятием бесконечности. Эти трудности были особенно ярко выявлены в апориях – затруднительных положениях (парадоксах) философа Зенона[7].

Отдельные апории Зенона, относящиеся к движению, описаны здесь: Апории Зенона

[1] Дискретность (от лат. Discretus – разделённый, прерывистый) – свойство, противопоставляемое непрерывности, прерывистость.

[2] Анаксимандр Милетский (611 – 546 до н.э.) – древнегреческий философ, представитель милетской школы натурфилософии.

[3] Анаксимен Милетский (585/560 – 525/505 до н.э.) – древнегреческий философ, представитель милетской школы натурфилософии, ученик Анаксимандра.

[4] Анаксагор (ок. 500 до н.э. – ок. 428 до н.э.) – древнегреческий философ.

[5] Пифагор Самосский (около 570—490 годов до н.э.) – древнегреческий философ, математик.

[6] Пифагореизм (пифагорейство) – философское движение, направление древнегреческой философии, основателем которого был Пифагор Самосский.

[7] Зенон Элейский (около 490 до н.э. – около 430 до н.э.) – древнегреческий философ.

Идея бесконечности в древнегреческой математике. Часть 2

Еще больше занимательного из истории математики и математических историй, задач по математике и ответов к ним здесь: funmath.ru