Задача: Точка M — середина стороны BC равностороннего треугольника ABC, точка E лежит на продолжении стороны AB, причём AE = AB. Серединный перпендикуляр к отрезку ME пересекает прямую AC в точке K. Выясните, где находится точка K: на стороне AC или на её продолжении. Найдите AK : CK
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть BM = x, тогда по св-у правильного треугольника AB = AE = 2x. Предположим, что точка K лежит на стороне AC, тогда серединный перпендикуляр обязательно пересечёт сторону AB (см. рисунок)
EL = AE + AL ⇒ AL > AE.
В △EBM: по теореме косинусов EM = √(16x^2 + x^2 - 2 * 4x * x * 1/2) = √(13x^2) = x√13. Поскольку N - середина EM, то EN = NM = x√13/2. По выражению косинусов углов треугольника через его стороны: cos∠BEM = (16x^2 + 13x^2 - x^2)/(2 * 4x * x√13) = 28x^2/(8x^2 * √13) = 7/2√13 = 7√13/26.
В прямоугольном △LEN: LE = EN/cos∠BEM = (x√13/2)/(7√13/26) = 13x/7.
13x/7 < 2x, то есть EL < AE. Противоречие ⇒ наше предположение было неверным ⇒ K лежит на продолжении стороны AC.
Проведём отрезок AN. Поскольку A - середина EB, а N - середина EM, то AN - средняя линия треугольника △ABM ⇒ AN∥BM и AN = BM/2 = x/2. (см. рисунок)
AL = AE - EL = 2x - 13x/7 = x/7. ∠EBC = ∠EAN = 60° как соответственные при пересечении параллельных AN и BM секущей EB.
В △LAN: по теореме косинусов LN = √((x^2)/49 + (x^2)/4 - 2 * x/7 * x/2 * 1/2) = √(39/196 * x^2) = x√39/14. Тогда по теореме синусов sin∠ANL/(x/7) = sin 60°/(x√39/14); sin∠ANL = (√3/2 * x/7)/(x√39/14) = √3/√39 = 1/√13. ⇒ cos∠ANL = √(1 - (1/√13)^2) = √(12/13) = 2√39/13.
В △KAN: ∠AKN = 180° - 120° - ∠ANL = 60° - ∠ANL. sin∠AKN = sin(60° - ∠ANL) = sin60° * cos∠ANL - cos60° * sin∠ANL = √3/2 * 2√39/13 - 1/2 * √13/13 = 3√13/13 - √13/26 = 5√13/26. По теореме синусов (1/√13)/AK = (5√13/26)/(x/2) ⇒ AK = (1/√13 * x/2)/(5√13/26) = (x/2√13)/(5√13/26) = x/5 = 0,2x.
CK = AK + AC = 2x + 0,2x = 2,2x ⇒
AK : CK = 0,2x : 2,2x = 1 : 11.
Ответ: 1 : 11.
Задача решена.