Задача: Шесть равносторонних треугольников расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей четырёх голубых треугольников равна сумме площадей двух жёлтых.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
S△ABN = S△BDN так как они правильные с общей стороной, по той же причине S△BCF = S△CFL. Пусть стороны мéньших голубых треугольников равны a, бо́льших голубых - b. Также пусть ∠ABC = α, тогда ∠DBF = 360° - 60° - 60° - 60° - α = 180° - α.
Тогда сторона большего оранжевого треугольника по теореме косинусов равна: √(a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos α); а мéньшего: √(a^2 + b^2 + 2 * a * b * cos α).
Площадь правильных треугольников через сторону можно найти по формуле: a^2 * √3/4.
Тогда сумма площадей голубых треугольников равна:
a^2 * √3/4 + a^2 * √3/4 + b^2 * √3/4 + b^2 * √3/4 = a^2 * √3/2 + b^2 * √3/2 = √3(a^2 + b^2)/2.
А сумма площадей оранжевых:
√3(a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos α)/4 + √3(a^2 + b^2 + 2 * a * b * cos α)/4 = √3(a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos α + a^2 + b^2 + 2 * a * b * cos α)/4 = √3(2a^2 + 2b^2)/4 = 2√3(a^2 + b^2)/4 = √3(a^2 + b^2)/2.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.