Задача: Основания трапеции равны 7 и 21, а её боковые стороны равны 13 и 15. Найдите диагональ трапеции, обозначенную буквой x на рисунке. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: AD∥BC по определению трапеции ⇒ ∠BCA = ∠CAD как накрест лежащие при пересечении параллельных AD и BC секущей AC, обозначим их углами α. В △ACB по теореме косинусов: √(x^2 + 7^2 - 2 * 7 * x * cos α) = 15 x^2 + 49 - 14 x * cos α = 225 x^2 - 14x * cos α = 176 В △CAD по теореме косинусов: √(x^2 + 21^2 - 2 * 21 * x * cos α) = 13 x^2 + 441 - 42x * cos α = 169 x^2 - 42x * cos α = -272 Составим систему уравнений: x^2 - 14x * cos α = 176 | *3 x^2 - 42x * cos α = -272 | *(-1) 3x^2 - 42x * cos α = 528 -x^2 + 42x * cos α = 272 Сложим уравнения: 2x^2 = 800 x^2 = 400 x = 20, так как x>0 Ответ: 20. Задача решена.
Задача: Основания трапеции равны 7 и 21, а её боковые стороны равны 13 и 15. Найдите диагональ трапеции, обозначенную буквой x на рисунке.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
AD∥BC по определению трапеции ⇒ ∠BCA = ∠CAD как накрест лежащие при пересечении параллельных AD и BC секущей AC, обозначим их углами α.
В △ACB по теореме косинусов:
√(x^2 + 7^2 - 2 * 7 * x * cos α) = 15
x^2 + 49 - 14 x * cos α = 225
x^2 - 14x * cos α = 176
В △CAD по теореме косинусов:
√(x^2 + 21^2 - 2 * 21 * x * cos α) = 13
x^2 + 441 - 42x * cos α = 169
x^2 - 42x * cos α = -272
Составим систему уравнений:
x^2 - 14x * cos α = 176 | *3
x^2 - 42x * cos α = -272 | *(-1)
3x^2 - 42x * cos α = 528
-x^2 + 42x * cos α = 272
Сложим уравнения:
2x^2 = 800
x^2 = 400
x = 20, так как x>0
Ответ: 20.
Задача решена.