Метод расчёта электрических цепей с помощью составления узловых и контурных уравнений является основным в электротехнике, поэтому его освоение является обязательным требованием к специалисту.
Узловые и контурные уравнения составляются по законам Кирхгофа. Они достаточно просты и их легко понять запомнить. Их всего два.
Первый закон Кирхгофа (закон Кирхгофа для узла) гласит, что алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.
При этом токи, втекающие в узел берутся со знаком плюс, а токи, вытекающие из узла - со знаком минус.
Есть и другая формулировка этого закона: сумма токов втекающих в узел равна сумме токов вытекающих из узла (в этом случае и токи втекающие в узел, и вытекающие из узла - все берутся со знаком плюс). Но мы будем использовать первую формулировку закона, данную выше.
Для составления уравнений по Первому закону Кирхгофа необходимо предварительно расставить направления токов в схеме. Токи можно направлять произвольно, то есть так, как хотите, по своему желанию. Попробуем составить уравнение по Первому закону Кирхгофа для узла А в следующей схеме:
Ток I5 втекает в узел, он будет со знаком плюс. Токи I12 и I34 - вытекают из узла А, поэтому они берутся со знаком минус. Алгебраическая сумма этих токов равна нулю. Уравнение для данного узла по Первому закону Кирхгофа будет следующим:
Аналогичным образом можно составить уравнение для узла В. Токи I12 и I34 втекают в узел В, потому они берутся со знаком плюс. А ток I5 вытекает из данного узла и, значит, берётся со знаком минус. Вся сумма равна нулю:
Перейдём ко Второму закону Кирхгофа. Введём понятие "падение напряжения".
Падение напряжения - это изменение напряжения на участке цепи, имеющем некоторое сопротивление. Оно равно произведению тока, протекающего через данный участок на сопротивление этого участка:
Второй закон Кирхгофа (закон Кирхгофа для контура) гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме всех э.д.с. этого контура.
Для составления уравнений по Второму закону Кирхгофа необходимо выбрать направление обхода контура и направление токов в схеме. При выборе направления обхода контура для удобства лучше придерживаться какого-либо одного правила. Мы будем всегда обходить контур по часовой стрелке. Если при обходе контура в выбранном направлении, нам встречается резистор, через который протекает ток против направления обхода контура, то падение напряжения на данном резисторе будет отрицательным. Если же ток течёт по направлению обхода контура, то падение напряжения на резисторе будет положительным.
Попробуем составить уравнение по Второму закону Кирхгофа для контура I в следующей схеме:
Здесь римской цифрой I обозначен номер контура, он выделен красным цветом, а зелёной стрелкой обозначено направление обхода этого контура.
Данный контур содержит три резистора (R1, R2, R5). Значит, в нём будет три участка с разным напряжением, то есть в нём будет три падения напряжения. Если обходить контур по часовой стрелке, то токи I5 и I12 будут отрицательными, поскольку они направлены против выбранного направления обхода контура.
Контур I содержит только один источник э.д.с. (Е). В обозначении источника э.д.с. есть стрелка. Она совпадает с направлением обхода контура, поэтому берём э.д.с. со знаком плюс.
Уравнение по Второму закону Кирхгофа для контура I будет иметь следующий вид:
Составим уравнение по Второму закону Кирхгофа для второго независимого контура цепи.
Этот контур не содержит источников э.д.с. и состоит из четырёх резисторов (R1, R2, R3, R4), по которым протекают токи I12 и I34 и вызывают четыре падения напряжения на резисторах. Направление тока I12 совпадает с направлением обхода контура по часовой стрелке, поэтому ток положительный. А ток I34 направлен встречно обходу контура, следовательно, этот ток отрицательный. Уравнение по Второму закону Кирхгофа для контура II:
Задание
Составьте уравнения по Первому и Второму законам Кирхгофа для любых двух узлов и для всех независимых контуров в схеме, соответствующей вашему варианту.