Задача: Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 2, а его боковые стороны равны 5. Точка O — середина медианы AM треугольника. Найдите OC.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: В △ABC: по формуле медианы AM = (√(2*5^2+2*2^2-5^2))/2 = (√(50+8-25))/2 = √33/2. В △MAC по выражению косинусов углов треугольника через его стороны: cos∠MAC = (2^2 + (√33/2)^2 - (5/2)^2)/(2 * 2 * √33/2) = (4 + 33/4 - 25/4)/2√33 = 6/2√33 = 3/√33. Поскольку точка O - середина медианы AM, то AO = OM = √33/4 В △AOC: по теореме косинусов CO = √((√33/4)^2 + 2^2 - 2 * √33/4 * 2 * 3/√33) = √(33/16 + 4 - 3) = √(49/16) = 7/4 = 1,75. Ответ: 1,75. Задача решена.
Задача: Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 2, а его боковые стороны равны 5. Точка O — середина медианы AM треугольника. Найдите OC.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
В △ABC: по формуле медианы AM = (√(2*5^2+2*2^2-5^2))/2 = (√(50+8-25))/2 = √33/2.
В △MAC по выражению косинусов углов треугольника через его стороны: cos∠MAC = (2^2 + (√33/2)^2 - (5/2)^2)/(2 * 2 * √33/2) = (4 + 33/4 - 25/4)/2√33 = 6/2√33 = 3/√33.
Поскольку точка O - середина медианы AM, то AO = OM = √33/4
В △AOC: по теореме косинусов CO = √((√33/4)^2 + 2^2 - 2 * √33/4 * 2 * 3/√33) = √(33/16 + 4 - 3) = √(49/16) = 7/4 = 1,75.
Ответ: 1,75.
Задача решена.