Задача: Стороны треугольника равны 2, 3 и 4. В каком отношении серединный перпендикуляр к его большей стороне делит другую сторону треугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём отрезок AM в точку пересечения стороны треугольника и серединного перпендикуляра, тогда по св-у серединного перпендикуляра AM = MC ⇒ △AMC - равнобедренный по определению. Пусть его угол при основании равен α (см рисунок)
В △AMC по теореме синусов MC = 4sin(∠MAC)/sin(∠AMC) = 4sin (α)/sin(180° - 2α) = 4sin (α)/sin(2α) = 4sin (α)/2sin(α)cos(α) = 2/cos(α).
В △ABC по выражению косинусов углов треугольника через его стороны:
cos α = (4^2 + 3^2 - 2^2)/(2 * 4 * 3)
cos α = 21/24
cos α = 7/8
⇒ MC = 2/(7/8) = 16/7, тогда BM = BC - MC = 3 - 16/7 = 5/7 ⇒ BM : MC = 5/7 : 16/7 = 5 : 16.
Ответ: 5 : 16.
Задача решена.