Он был актером настоящей мхатовской школы, которая воспитывала глубокое понимание подлинности существования актера на сцене и в кадре. Открытое лицо, интеллигентность, удивительный бархатный голос, который узнаешь сразу. И безупречная дикция. Не зря его по праву называли «королем дубляжа».
Будучи 15-летним школьником, московский мальчик Алеша Борзунов попал в кино. Ассистенты режиссера Ильи Фрэза искали в московских школах паренька на главную роль в картину «Необыкновенное путешествие Мишки Стрекачева». Среди отобранных детей оказался и Алексей. Его нельзя было не выделить среди остальных претендентов, этого подростка с добрым лицом и пытливым взглядом. Так Борзунов попал в свою первую картину.
Старт актерской карьеры был удачным, и следующей лентой стал фильм «Друг мой, Колька!» режиссеров Александра Митты и Алексея Салтыкова. Это была их совместная дипломная работа, до сих пор любимая несколькими поколениями зрителей. Роль Юры Устинова, председателя совета отряда, запоминается не менее отчетливо, чем Колька Снегирев и Маша Канарейкина в исполнении Александра Кобозева и Анны Родионовой. Замечательный, добрый фильм о детской дружбе.
В 1961 году Алексей поступил в школу-студию МХАТ на курс педагога Василия Петровича Маркова. Учился с Владимиром Меньшовым, Верой Алентовой, Рогволдом Суховерко, Анастасией Вознесенской, Андреем Мягковым - все студенты были яркими и талантливыми.
По окончании школы-студии стал актером Художественного театра, служил в нем до 1990 года (с 1987 г. - в театре МХАТ им. Горького). Был занят в интересных ролях - Хлестаков в «Ревизоре», Лариосик в «Днях Турбиных» и др. попутно снимаясь в кино. Это были фильмы: «Твой современник», «Возврата нет», «Фронт без флангов», «Розыгрыш» и др.
В начале 70-х на телеэкраны вышла многосерийная киноповесть «День за днем», поставленная В.Шиловским и Л.Ишимбаевой, в которой было занято целое созвездие артистов и где Борзунов блеснул в роли Анатолия Гусева (Толича). Безыскусная история о простых людях, о человечности, любви, дружбе, взаимовыручке и бескорыстности, поставленная по сценарию Михаила Анчарова.
В основном же Борзунов знаком киноманам как мастер дубляжа: его голосом говорили многие известные диснеевские персонажи, среди которых Скрудж Макдак и Человек-паук. Кроме того, Борзунов озвучивал латиноамериканские сериалы. Например, принял участие в дубляже многосерийного фильма «Богатые тоже плачут».
Его огромный вклад в популяризацию мировой литературы также невозможно переоценить. Был чтецом аудиокниг: «Белая гвардия», «Маленький принц», «Остров сокровищ», «Доктор Живаго», «Дон Кихот», «Братья Карамазовы» и др. Запомнился изумительным озвучиванием стихотворений Корнея Чуковского. «Телефон», «Крокодил»- это настоящий мюзикл, который звучит на разные голоса.
Алексей Алексеевич был женат на Татьяне Ивановне Борзуновой, в этом браке родилась дочь Елена, актриса дубляжа и кино.
Алексей Алексеевич Борзунов умер 7 июня 2013 года в своей квартире в Москве от сердечного приступа. Ему было 69 лет. Похоронен на Хованском кладбище столицы.