П.1 Высказывания
Алгебра логики (высказываний) - раздел математической логики, изучающий высказывания и логические операции над ними.
Высказывание(суждение) – любое повествовательное предложение в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Примеры высказываний:
- Земля - планета Солнечной системы.
- 2+8<5
- 5×5=25
- Всякий квадрат есть параллелограмм
- Каждый параллелограмм есть квадрат
- 2×2=5
Высказываниями не являются:
- восклицательные и вопросительные предложения;
- определения;
- предложения типа:
- «он сероглаз»
- «x2-4x+3=0»
Алгебра логики (высказываний) работает с высказываниями.
Различают:
- Логические константы (логические утверждения) – конкретные частные утверждения.
Истина: Аристотель - основоположник логики.
Ложь: На яблонях растут бананы.
- Логические переменные (предикаты)– логические высказывания, значения которых меняются в зависимости от входящих в них переменных, обозначаются заглавными латинскими буквами А, В, С,D,F,…
А = {Аристотель - основоположник логики} – истина.
В = {На яблонях растут бананы} – ложь.
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0.
Таким образом, А = 1, В = 0.
- Логические функции (логические формулы) – сложные логические выражения, образованные из простых и связанные логическими операциями И, ИЛИ, НЕ и др.)
Высказывание «Все мышки и кошки с хвостами» является сложным и состоит из двух простых высказываний
А=«Все мышки с хвостами» и В=«Все кошки с хвостами»
Его можно записать в виде логической функции, значение которой истинно: F(A,B)=AиB.
В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно.
Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только ложь (0) или истина (1).
Истина, ложь–логические константы
В алгебре логики высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A,B, X, Y.
Логические выражения бывают простыми или составными (сложными).
Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логических операций. В нём возможно только два результата – либо «истина», либо «ложь».
- На улице светит солнце. (А)
- На улице идет дождь. (В)
П.2 Операции алгебры логики. Таблицы истинности логических операций. Вычисление логических выражений.
Сложное логическое высказывание строится из простых с помощью логических связок (таких как «И», «ИЛИ», «НЕ»), которые называются логическими операциями.
· На улице светит солнце и на улице идет дождь. (А и В)
· На улице светит солнце или на улице идет дождь. (А или В)
Основные логические операции:
- НЕ (логическое отрицание,инверсия)
- ИЛИ (логическое сложение,дизъюнкция)
- И (логическое умножение,конъюнкция)
Операция НЕ (отрицание, инверсия)
Отрицание (инверсия) – операция логического отрицания.
Добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО…
Обозначение: не, not, ¬ , ¯.
Если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то оно будет истинным.
А – Земля вращается вокруг Солнца – истинно
¬А – Земля не вращается вокруг Солнца – ложно
Операция И (логическое умножение, конъюнкция)
Конъюнкция (логическое умножение) – соединение двух логических выражений (высказываний) с помощью союза И.
Обозначение:
Логическая операция конъюнкция истинна только в том случае, если оба простых высказывания истинны, в противном случае она ложна.
А – У меня есть знания для сдачи зачета.
В – У меня есть желание для сдачи зачета.
У меня есть знания И желание для сдачи зачета.
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
Дизъюнкция (логическое сложение) – соединение двух логических высказываний с помощью союза ИЛИ.
Обозначение: или, or, +,V
Логическая операция дизъюнкция ложна, если оба простых высказывания ложны. В остальных случаях она истинна.
A – Летом я поеду в лагерь
B – Летом я поеду к бабушке
Летом я поеду в лагерь или поеду к бабушке
AVB
Другие логические операции:
Импликация («если …, то …»)
Импликация (логическое следование)– связывает два логических выражения, из которых первое является условием, а второе – следствием из этого условия. Операция обозначается словами: «Если…, то…» (Если А, то В).
Результат операции импликации ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.
А – идёт дождь
В – на улице сыро
Если идёт дождь, то на улице сыро.
А → В
Эквивалентность («тогда и только тогда, …»)
Эквивалентность (логическое тождество, равнозначность) – определяет результат сравнения двух логических выражений. Операция обозначается словами: «…тогда и только тогда, когда…» (А т. и т. т. когда В)
Обозначение: ~
Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.
А – день сменяет ночь
В – солнце скрывается за горизонтом
День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом.