Когда-то Парижская академия наук составила список «ненаучных» направлений. В него помимо изучаемых на канале «Андрей Юрьевич Болдин 1965» Вечных двигателей – была включена «Квадратура круга» (см. https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратура_круга ). Задача – только с помощью циркуля (радиуса круга) и слепой линейки надо построить квадрат той же площади что и круг.
Поскольку площадь круга «точно» равна По=Пи*р*р (Пи=3,14159…-бесконечно иррациональное число), а в площадь квадрата П=а*а число Пи не входит - то не может быть !даже математически! идеального решения. Но приближённые методы возможны. Без экскурса в прошлые предложения, к примерам из Википедии – можно добавить следующие варианты.
ПЕРВЫЙ.
Визуализация на реальных построениях часто помогает в поиске решений. Далее всё основывается на предварительном рисовании. Втыкаем иглу циркуля (зафиксированного размаха радиуса) и чертим окружность. Из любой точки окружности ШЕСТЬ раз делаем отсечки на окружности по размаху циркуля. Из двух соседних точек отсечками циркуля (и на противоположной паре точек окружности) – восстанавливаем первый диаметр. Перпендикулярный второй диаметр проходит точно через незадействованные точки окружности. Всё – система координат построена.
Для конкретности пусть радиус р=10см. Площадь круга По=314,159. Квадратный корень из По даёт сторону искомого квадрата а=17,725см (и половинка стороны 8,8623см). Для визуализации (пока по линейке с делениями) строим квадрат со сторонами, параллельными осям координат.
Ключевыми будут Точки пересечения сторон квадрата с окружностью. Эти точки не совпадают с Отсечками шести шагов радиуса по окружности. По методу подгонки можно увидеть: если от Отсечки идти по окружности не до ближайшей точки но до дальней Точки, то длина дуги окружности почти равна радиусу. Проверим это математически, см. рисунок.
В прямоугольном треугольнике с острым углом Альфа=27,6о при гипотенузе 10см будет гориз.катет 8,862см=а/2 ровно половина стороны квадрата. Красный сектор с углом Альфа имеет длину дуги 4,82см. Это рассчитано из половины 31,4159см длины окружности при 180о. Аналогично, стандартный зелёный сектор 30о с длиной дуги 5,23см. В сумме 4,82+5,23=10,05см что почти равно радиусу круга р=10см.
Кстати. Полная длина окружности 62,832см=6*10см+2,832см, т.е. шесть длин радиуса (+) добавка 2,832см. Если добавку поделить на 6, и прибавить 10см радиуса (краснозелёная дуга на рисунке), то получится 10,472см. А это ровно 1/6 полной окружности. Поэтому Точка пересечения окружности и квадрата равных площадей – эта Точка оказывается наделена реальным смысловым содержанием.
На использовании этих Точек основан метод разрешения «Квадратуры круга» практически за один ключевой шаг. На слепую линейку наносим циркулем Ризки на размер радиуса нужного круга. Далее работаем с шаблоном круга с осями и Отсечками под 60о. Совмещаем с Отсечкой Ризку линейки, и без проскальзывания «прокручиваем» линейку по окружности. Когда вторая Ризка линейки окажется на окружности – ставим Точку пересечения будущего квадрата с окружностью. Или аналогично делаем с пометками на гибкой нити, накладываемой на линию окружности. [Эта процедура похожа на механический метод Леонардо да Винчи с прокатыванием цилиндра.] Рядом с найденной Точкой будет соседняя Отсечка, из которой обратно (вниз) «прокручиваем» линейку – с получением второй Точки (внизу зелёной линии на рисунке).
Через указанные две Точки с помощью линейки проводится прямая линия, на которой будет сторона искомого квадрата. Далее остаётся только повторить данные манипуляции ещё в трёх парах Отсечек. Пересечения построенных четырёх прямых линий сформируют нужный квадрат. Или задействовать 45о градусные диагонали осей координат.
________________________________________________
ВТОРОЙ метод (также приблизительный) победы над «Квадратурой круга».
Прежде чем проводить любые построения, сначала сделаем сейчас (а не вдревности) доступные расчёты. Для простоты пусть Радиус круга р=1см. Тогда длина Стороны квадрата должна быть: квадратный корень из Пи, т.е. а=1,7725…см. Причём (а) как коэффициент, показывающий во сколько раз Сторона больше Радиуса – справедливо для круга ЛЮБОГО размера.
Пока без объяснений заполним нехитрую таблицу:
Множитель_для_(а)__1_____2______3______4______5___
Результат_________1,7725_3,5449_5,317_7,0898_8,862__
И сразу суть замысла. Интересны варианты, когда Результат близок к целому числу единиц, или с половинкой 0,5. Например, случай 3,545. С этим можно вот что сделать для «Квадратуры круга». Вдоль прямой линии размечаем циркулем 4 последовательных отрезка длиной радиуса квадратируемого круга:
Н-------------------|---------------С----|--------------------|----------К---------|
Из концов правого отрезка строим циркульной процедурой восстановления – перпендикуляр, делящий отрезок пополам (точка К). Из таблицы видно, что длина отрезка (НК)=3,5 очень близка к двойной длине Стороны нужного квадрата. Из точек Н и К методом циркульных пересечений также рисуем уполовинивающий перпендикуляр в точке С. Отрезки (НС) и (СК) являются длинами Сторон квадрата. Аналогично поделив любой из них пополам, получим размер Размаха циркуля, равный 1/2 Стороны квадрата.
Далее перейдя к шаблону Круга с осями координат, на них делаем из центра отсечки, через которые должны пройти Стороны квадрата. И наконец, стандартными геометрическими процедурами построения нормалей и параллельных прямых – легко начертить требуемый Квадрат.
Из таблицы видно, что на изначальной прямой можно отмерить 7 радиусов круга, на которых уложится 4 стороны квадрата. Опираясь на бОльшую точность коэффициента а=1,77245385…, продолжая таблицу, можно дойти до наименьшего остатка к 0,5 или 1,0 в нижних Результатах (с повышением математической точности решения). Но на практике, рост числа отрезков на изначальной разметочной прямой – приведёт к накоплению погрешностей построений, что нежелательно.
И повторим, «Квадратура круга» - это задача с заведомо приближённым решением даже в математике.
В заключение, одно критическое замечание о механическом методе Леонардо да Винчи: «Изготовим круговой цилиндр с радиусом основания R и высотой R/2, намажем чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатим его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью (2*Пи*R)*(R/2)=Пи*R*R. Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить (равновеликий ему по площади) квадрат».
Когда R=1см, тогда получится узкий прямоугольник 6,283см*0,5см. Его площадь действительно равна площади круга 3,1416кв.см=Пи. Но в строгой постановке «Квадратуры круга» (только циркуль и линейка без шкалы) перейти к квадрату вряд ли «несложно». Если 0,5см кратно R=1см, то с длиной 6,283см проблемы. По вышеприведенной таблице, эта длина далеко НЕ кратна стороне 1,7725см будущего квадрата. А полу-сторон 0,8862см на длине 6,283см приемлемо укладывается почти точно СЕМЬ. Но опять-таки вопрос: как из полной длины выделить 1/7 только чертя циркулем и слепой линейкой. Пожалуй, это Новая ЗАГАДКА масштаба самой «Квадратуры круга».
А пример приближённого решения из Википедии: «Диагональ искомого квадрата равна 2,5*R радиуса круга» - легко реализуется, аналогично выше предложенному методу последовательных отрезков R. Третий отрезок делится пополам точкой, от которой до начала будет расстояние диагонали квадрата. После чего, дальше – обычное «дело техники».