Задача: Два квадрата имеют общую вершину. Их стороны равны 2 и 3, а расстояние между серединами показанных на рисунке сторон равно 5. Найдите площадь треугольника, образованного двумя сторонами этих квадратов, выходящими из их общей вершины.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём отрезки MC и CN. В прямоуг. △CBM: по теореме Пифагора CM = √(1^2 + 2^2) = √5. sin∠BCM = 1/√5 = √5/5; cos∠BCM = 2√5/5.
sin∠MCD = sin(90° - ∠BCM) = cos∠BCM = 2√5/5. cos∠MCD = cos(90° - ∠BCM) = sin∠BCM = √5/5.
В прямоуг. △CA1N: по теореме Пифагора CN = √(3^2 + (3/2)^2) = √(45/4) = 3√5/2. sin∠A1CN = (3/2)/(3√5/2) = 1/√5 = √5/5.
sin∠A1CN = cos∠MCD ⇒ ∠A1CN = 90° - ∠MCD.
В △MCN по выражению косинусов углов треугольника через его стороны:
cos∠MCN = (5 + 45/4 - 25)/(2 * √5 * 3√5/2) = (-35/4)/15 = -7/12.
cos∠MCN = cos(∠A1CN +∠MCD + ∠DCA1) = cos(90° - ∠MCD + ∠MCD + ∠DCA1) = cos(90° + ∠DCA1) = -sin ∠DCA1 ⇒
-sin ∠DCA1 = -7/12
sin ∠DCA1 = 7/12
S△DCA1 = 1/2 * 2 * 3 * sin∠DCA1 = 3 * 7/12 = 7/4 = 1,75.
Ответ: 1,75.
Задача решена.
