Различные зависимости одной величины от другой могут описываться линейными, параболическими, экспоненциальными функциями и другими видами функций. Одной из самых распространенных видов функций является степенная. О применении Метода наименьших квадратов (МНК) к описанию подобной зависимости и пойдёт дальнейшее обсуждение.
Постановка задачи
Положим, что у нас имеется некая зависимость Y - X (набор "точек" указан на рисунке). Мы хотим описать её некой функцией. Предполагаем, что ей будет являться степенная функция вида y = x^a.
Задача сводится к поиску единственного неизвестного коэффициента а (показателя степени) заданного уравнения.
Решение
Применяя МНК, минимизируем сумму квадратов отклонений нашей заданной функции. Для этого находим частную производную по искомому коэффициенту и приравниваем её к нулю. Этим мы обеспечиваем минимум суммы квадратов отклонений.
Далее упрощаем наше выражения путём деления обеих частей уравнения на отличные от нуля его элементы. Для проверки, действительно ли элемент уравнения не равен нулю, следует обратиться (в частном случае) к заданным
x и y.
В ходе несложных преобразований получаем выражение, с помощью которого можно найти коэффициент a: отношение сумм логарифмов (в данном случае натуральных) y-ков и x-ов соответственно.
Напомним, что значения x и y в данном случае нам известны.
Дальнейшее решение приведем на примере конкретных значений. Итогом вычислений будет являться значение для коэффициента а заданного уравнения.
Результаты
Найденное значение подставляем в наше исходное уравнение.
Полученное уравнение теперь прекрасно описывает нашу зависимость.
Стоит отметить, что если описание набора "экспериментальных точек" полученной функцией нас по тем или иным причинам не устраивает, то можно и нужно задать другой вид искомой функции и начать решение с начала.
- Спасибо Вам за уделённое время!
Подписывайтесь на канал и оставляйте свой след в комментариях!