Рассмотрим математическую игру для 2х игроков под условным названием - "Матрица".
Как играть?
1. Берем ручку и листок бумаги.
2. На листе прочерчиваем игровое квадратное поле.
3. Минимальный размер 3х3 клетки.
4. Один из игроков играет за столбики, другой за строчки.
5. Право первого хода определяется жребием.
6. Игроки по очереди пишут по одному числу в любую пустую клетку матрицы.
7. При игре на поле 3×3 клетки используются числа от 1 до 9, 4×4 клетки от 1 до 16 и т.д.
8. Числа в матрице не должны повторятся.
Условие победы?
После того, как все клетки будут заполнены, идет подсчет очков для каждого игрока.
Числа в каждой строчке и каждом столбике перемножаются и эти произведения складываются.
Для примера выше:
По строчкам: (1×7×2) + (3×4×6) + (9×5×8) = 446
По столбикам: (1×3×9) + (7×4×5) + (2×6×8) = 263
Игрок, играющий за строчки победил.
Возможно ли ничья? Минуточку…
Рассмотрим стратегию игры на поле 2×2 (на котором ничья невозможна). Заметим, что выбор клетки первого хода первого игрока не имеет значения, так как перестановка строк или строчек не изменяет оценку игры из-за симметричности операций умножения и сложения.
Соответственно выбор первым игроком клетки для первого числа не имеет значения, так как, проведя несколько перестановок строк и столбцов, можно перевести клетку в любую удобную позицию (например, в верхний левый угол).
Для поля 2×2 выбор первого числа ограничен четырьмя вариантами: 1, 2, 3, 4. Можно быстро просмотреть каждый из этих вариантов.
При выборе первым игроком числа «4» второй игрок, который считает результат по столбцам, выигрывает при постановке числа «3» в тот же столбец, в котором уже стоит «4».
Таким образом, для второго столбца остаются числа «1» и «2», но результат второго игрока 4×3+2×1=14 всегда превышает результат по строкам: 4×2+3×1=11 или 4×1+3×2=10).
При выборе первым игроком числа «3» второй игрок выигрывает при постановке числа «4» в тот же столбец, в котором уже стоит «3», сводя задачу к предыдущему случаю.
Если же первый игрок выбирает число «2» (или «1»), то второй игрок выигрывает, выставляя в тот же столбец число «1» (или «2»), оставляя для второго столбца только числа «3» и «4», что вновь при перестановке столбцов сводится к выигрышной для второго игрока позиции.
Если второй игрок играет за строчки, то проводим точно такие же рассуждения, заменяя столбцы на строки. Второй игрок стремится разместить максимальные числа «3» и «4» в одном столбце (или строке).
Таким образом, на поле 2×2 второй игрок имеет выигрышную стратегию.
Если перейти к полю 3×3, то можно (скорее всего) применить аналогичные соображения. Игрок, разместивший в нужном для себя ряду максимальные числа для умножения, одержит победу.
Рассмотрим типичную партию.
Первый игрок начинает с «9». Второй игрок, играющий за столбцы, ставит под «9» следующую максимальную цифру – «8».
Предположим, что первый игрок хочет минимизировать (уменьшить) выгоду второго игрока от размещения «9» и «8» в одном столбце. Тогда самый выгодный в этом отношении ход – это занятие последней свободной клетки в первом столбце «1», что дает самое минимальное произведение этих трёх чисел.
Второй игрок также хочет минимизировать результат первого игрок и размещает «7» (следующую максимальную цифру) в третьей строке (рядом с «1»), так как размещение её в первой или во второй строке даёт больший вклада в произведение, умножая «9» или «8» на «7».
Первый игрок размещает цифру «6» в последней клетке третьей строки, желая закрепить ней максимально возможное произведение.
Второй игрок выбирает цифру «5» и ставит в центр поля, руководствуясь простыми соображениями: он не ставит её первую строчку, выбирая меньший множитель «8», а не «9» для строчки, и выбирая больший множитель «7», а не «6» для столбца.
Первый игрок ставит «4» над «5», сочетая её с «9».
Второй игрок считает, что произведение 9×4×3 меньше произведения 8×5×3, и ставит «3» в правый верхний угол, оставляя последний ход – последнюю цифру, выбора которой у первого игрока уже нет.
Итак, результат игры следующий.
По строчкам: (9х4х3) + (8х5х2) + (1х7х6) = 230.
По столбикам: (9х8х1) + (4х5х7) + (3х2х6) = 248.
Игрок, играющий за столбцы победил.
Однако, далеко не просто доказать, что игра первого игрока была оптимальной, и выигрыш второго игрока был естественен. Полный анализ игры возможен, но вряд ли интересен, так как совсем убивает интерес к игре. При этом на больших досках нахождение оптимальной стратегии займет некоторое время.
Сейчас же пока мы не подключили к решению переборной «мини-макс-овой» задачи нейросети (если они на такое способны), зададим несколько простых вопросов:
1) Какой максимальной результат может быть достигнут одним из игроков? Или, как разбить девять чисел от одного до девяти на три тройки так, чтобы сумма произведений чисел в этих тройках была максимальной?
2) Какой минимальный результат может быть достигнут одним из игроков? Или, как разбить девять чисел от одного до девяти на три тройки так, чтобы сумма произведений чисел в этих тройках была минимальной?
3) Возможна ли на поле 3×3 ничья?
Как обычно, у автора есть некоторые предположения.
Для первого вопроса разместим цифры следующим образом:
По строчкам получается: (9×8×7) + (4×5×6) + (3×2×1) = 630, и я думаю, что это максимум.
Минимальное разбиение, например, такое:
(5×9×1) + (8×7×2) + (3×4×6) = 229.
Ну, и наконец ничья возможна при 242:
Единственное ли это разбиение (242/242)? Честно говоря, не знаю. Можно ли найти такое равенство на поле 4×4? Тоже не знаю. Но любые комментарии приветствуются и (даже!) поощряются.
Все-таки не могу остановиться на полпути, и хочу найти решение и точные ответы на поставленные вопросы.
Имеется девять чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Сколько имеется разных вариантов разбиения их на три группы, и какой получается результата вычисления: (N1× N2× N3)+ (N4× N5× N6)+ (N7× N8× N9) (максимум и минимум – и каких чисел не может быть)?
В качестве задачи для машинного перебора, подсчитаем, сколько всего разных троек цифр можно получить.
Будем считать первой тройку, куда входит число «9» (это следует из равенства суммы при перемене мест слагаемых) - N1.
В качестве второго числа в первой тройке N2 могут выступать: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2. Число «1» мы исключаем, так как всегда можем разместить числа в порядке убывания (это следует из равенства произведения при перемене мест множителей).
Третьим числом в первой тройке N3 могут быть все числа, которые меньше второго числа (опять же исходя из возможности размещения чисел в порядке убывания). Таких вариантов будет: 7+6+5+4+3+2+1=28. Таким образом, для первой тройки мы получаем: 28 вариантов.
Будем считать второй тройкой ту, в которую входит максимальное из шести оставшихся чисел (это следует из равенства суммы произведения троек при перемене мест слагаемых троек) – N4.
Вторым числом во второй тройке - N5 - может быть любое (4 варианта) из пяти чисел, кроме наименьшего, так как всегда можем разместить числа в порядке убывания.
Третьим числом во второй тройке N6 может быть число, которое меньше N5 (второго числа второй тройки). Таких вариантов из оставшихся четырех чисел будет 4+3+2+1=10. Таким образом, для второй тройки мы получаем: 10 вариантов.
Третья тройка чисел формируется единственным образом из оставшихся трёх чисел, расположенных в порядке убывания – N7, N8, N9.
Таким образом, общее число вариантов будет равно: 28×10×1=280. Как же по этим вариантам будут распределяться значения (N1× N2× N3)+ (N4× N5× N6)+ (N7× N8× N9)?
Каждый из этих вариантов дает нам 36 инвариантов. Откуда это известно? Выше я уже писал, что перестановка строк и строчек не изменяет расчет значения. Мы можем расставить строчки шестью способами: 123, 132, 213, 231, 312, 321, также шестью способами мы можем переставить столбцы. А произведение 6 на 6 как раз и даёт 36 вариантов размещения строк и столбцов с сохранением одной суммы.
Вернёмся к нашим вопросам.
Какой максимальной результат может быть достигнут одним из игроков?
Ответ: действительно максимальный результат 630, который соответствует варианту (9×8×7) + (4×5×6) + (3×2×1).
Какой минимальный результат может быть достигнут одним из игроков?
Он оказался не 229. Сам правильный ответ дан в книге «Вкусная книга о здоровых и маленьких играх».
Возможна ли на поле 3×3 ничья?
Ответ: конечно, да, но вот в отношении поля 4×4 такой уверенностью у меня нет. Довольно интересный факт, что ничья наблюдается на крайне заметном представителе таких квадратов – «магическом квадрате».
По строчкам: (8×1×6) + (3×5×7) + (4×9×2) = 225.
По столбикам: (8×3×4) + (1×5×9) + (6×7×2) = 225.
Стоит заметить, что сумма очков у двух игроков 225+225=450 довольно низкая, по сравнению с результатом, который способен набрать один игрок. В связи с этим возникает дополнительный вопрос: Укажите максимальный результат ничейного исхода игры. Авторский ответ дан в книге «Вкусная книга о здоровых и маленьких играх».
Далее я предлагаю Вам решить обратную задачу. Вам даны результаты по строчкам и столбцам квадрата – попробуйте восстановить расположение цифр в нём (только договоримся, что «9» всегда находится в верхнем левом углу).
Например, строчки – 248, столбцы – 341, приводят нас к следующему квадрату.
Попробуйте восстановить следующие квадраты:
1) Строчки - 602; столбцы - 317.
2) Строчки - 500; столбцы - 290.
3) Строчки - 400; столбцы - 303.
4) Строчки - 301; столбцы - 270.
5) Строчки - 299; столбцы - 304.
6) Строчки - 300; столбцы - 345.
Сколько времени ушло у Вас на каждое из заданий?
Сравнить с авторскими ответами можно в книге «Вкусная книга о здоровых и маленьких играх».
В интервале 300-350 можно получить следующие суммы: ... 350, 347, 346, 344, 343, 342, 341, 338, 337, 336, 334, 333, 332, 330, 327, 325, 324, 323, 322, 320, 318, 317, 315, 311, 310, 308, 306, 305, 304, 303, 302, 301...
Например, 522 представлено выражением: (9×5×4) + (8×7×6) + (3×2×1), а 387 такими выражениями: (9×8×4) + (7×6×2) + (5×3×1)= (9×7×5) + (8×6×1) + (4×3×2)=(9×7×5) + (8×3×2) + (6×4×1)= (9×7×5) + (8×3×1) + (6×4×2).
Именно наличие возможности представление одного числа разными выражениями и позволяет получить квадрат с ничейным результатом.
Однако, наличие разрешимой суммы в списке не позволяет получить квадрат, комбинирующий любые две суммы одновременно. Например, если в одной из троек в строчках есть две такие же цифры как в одной из троек в столбцах, то не получится разместить эти две цифры в строчке и столбце одновременно.
Кстати, по вышеприведенному списку. В первой редакции была упущена одна сумма. Сможете её найти? Если справитесь с заданием за час, то вы – просто умничка! 😊