№ 1. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2. Средняя линия трапеции равна сумме ее оснований.
3. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1) Верно. Так как площадь треугольника равна высоте на половину основания, а высота меньше стороны треугольника, то в итоге площадь всегда будет меньше произведения его сторон.
2) Неверно. Средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований.
3) Верно. Это одно из условий подобия треугольников по двум углам.
Ответ: 13.
№ 2. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
3. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1) Верно. Длина гипотенузы всегда меньше сумм катетов прямоугольного треугольника.
2) Верно. Так как биссектриса делит угол пополам, то расстояние от нее до противоположных сторон угла будет одинаковым.
3) Неверно. Диагонали у ромба должны пересекаться под прямым углом и не обязательно быть равными. Если в параллелограмме диагонали равны это еще не означает, что они пересекаются под прямым углом.
Ответ: 12.
№ 3. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
2. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
3. Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. В таком параллелограмме все стороны будут равны, поэтому он перейдет в ромб.
2. Верно. Это прямоугольник, который переходит в квадрат.
3. Неверно. Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей.
Площадь квадрата равна квадрату стороны.
Ответ: 12
№ 4. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
2. Любой квадрат является прямоугольником.
3. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Вписанный угол равен половине центрального угла.
2. Верно. Любой квадрат является прямоугольником.
3. Неверно. Это утверждение верно для равностороннего треугольника, но не для равнобедренного.
Ответ: 2
№ 5. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Все хорды одной окружности равны между собой.
2. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее на два равных треугольника.
3. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1) Неверно. Хорды в окружности могут иметь разные длины.
2) Неверно. Треугольники получаются разные.
3) Верно. Сумма углов любого треугольника 180 градусов.
Ответ: 3.
№ 6. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Все хорды одной окружности равны между собой.
3. Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой она проведена.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Неверно. Хорды в окружности могут иметь разные длины.
3. Неверно. Биссектриса делит угол пополам, а медиана - делит сторону пополам.
Ответ: 1
№ 7. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
3. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Такие треугольники равны по двум углам, по первому признаку подобия треугольников.
2. Неверно, т. к. для того, чтобы утверждать, пересекаются окружности или нет, нужно ещё знать взаимное положение их центров.
3. Неверно. Средняя линия трапеции равна половине сумме ее оснований.
Ответ: 1.
№ 8. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Через заданную точку плоскости можно провести единственную прямую.
2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
3. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Через заданную точку плоскости можно провести бесконечное множество прямых.
2. Верно. Центр описанной окружности около треугольника есть точка пересечения серединных перпендикуляров.
3. Верно. Поскольку соседние стороны параллелограмма равны между собой, а противоположные равны по определению, то все стороны равны.
Ответ: 23
№ 9. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
2. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
3. Все хорды одной окружности равны между собой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.
2. Верно. Такие прямоугольники существуют. В качестве примера можно привести квадрат.
3. Неверно. Хорды в окружности могут иметь разные длины.
Ответ: 2
№ 10. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. У любой трапеции боковые стороны равны.
2. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
3. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Могут быть трапеции с неравными боковыми сторонами.
2. Верно. Эта система (точка и окружность) имеет ось симметрии - прямая проведенная через данную точку и центр окружности. Соответственно, если можно провести одну касательную, то можно провести и вторую, симметричную первой.
3. Верно. По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника сумма углов n-угольника равна 180° · (n − 2). Это значит, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам.
Ответ: 23
№ 11. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. У любой трапеции боковые стороны равны.
2. В параллелограмме есть два равных угла.
3. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Могут быть трапеции с неравными боковыми сторонами.
2. Верно. Противоположные углы параллелограмма равны.
3. Верно. Для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Ответ: 23
№ 12. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
3. Внешний угол треугольника равен сумме всех его внутренних углов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Верное утверждение: «Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания».
2. Верно. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
3. Неверно. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Ответ: 2
№ 13. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
2. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является медианой.
3. Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
2. Неверно. Это утверждение верно для равностороннего треугольника, но не для равнобедренного.
3. Неверно. Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
Ответ: 1
№ 14. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
3. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Это одно из условий подобия треугольников по двум углам.
2. Неверно, т. к. для того, чтобы утверждать, пересекаются окружности или нет, нужно ещё знать взаимное положение их центров.
3. Неверно. Средняя линия трапеции равна половине сумме ее оснований.
Ответ: 1
№ 15. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является высотой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Эта система (точка и окружность) имеет ось симметрии - прямая проведенная через данную точку и центр окружности. Соответственно, если можно провести одну касательную, то можно провести и вторую, симметричную первой.
2. Неверно. В тупоугольном треугольнике один угол тупой и два острых угла.
3. Неверно. Это утверждение верно для равностороннего треугольника, но не для равнобедренного.
Ответ: 1.
№ 16. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
2. Площадь трапеции равна произведению основания на высоту.
3. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является высотой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Диагонали прямоугольника всегда делятся пополам точкой пересечения.
2. Неверно. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
3. Неверно. Только биссектриса, проведенная к основанию является его высотой.
Ответ: 1.
№ 17. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
2. Все углы прямоугольника равны.
3. Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Средняя линия трапеции равна половине сумме ее оснований.
2. Верно. Все углы равны 90 градусам.
3. Верно. Через одну точку может проходить множество прямых.
Ответ: 23.
№ 18. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Боковые стороны любой трапеции равны.
2. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.
3. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Боковые стороны равны только у равнобедренной трапеции.
2. Верно. Площадь прямоугольника – это произведение длины на ширину (смежные стороны).
3. Неверно. Центр окружности, окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Например, в тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника.
Ответ: 2.
№ 19. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Все диаметры окружностей равны между собой.
2. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
3. Любые два равносторонних треугольника подобны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Все диаметры одной и той же окружности равны.
2. Неверно. Вписанный угол в два раза меньше центрального, если они опираются на одну и ту же дугу.
3. Верно. Все углы равносторонних треугольников равны 60 градусам, используем принцип подобия по двум углам треугольника.
Ответ: 13.
№ 20. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого четырехугольника, то такие четырехугольники равны.
2. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
3. Смежные углы всегда равны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Чтобы четырехугольники были равны, должны быть равны из стороны и углы.
2. Верно. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
3. Неверно. Смежные углы равны только, если они оба равны 90 градусам.
Ответ: 2.
№ 21. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Смежные углы всегда равны.
2. Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
3. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Смежные углы равны только, если они равны 90 градусам.
2. Верно. Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон, которые равны друг другу.
3. Верно. Для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Ответ: 23.
№ 22. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Площадь трапеции равна произведению его основания на высоту.
2. Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.
3. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Площадь трапеции равна произведению его полусуммы оснований на высоту.
2. Неверно. Если в треугольнике есть один тупой угол, то этот треугольник тупоугольный.
3. Верно. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Ответ: 3
№ 23. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
2. В параллелограмме есть два равных угла.
3. Боковые стороны любой трапеции равны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Площадь квадрата равна произведению его смежных сторон.
2. Верно. Противоположные углы в параллелограмме равны.
3. Неверно. Боковые стороны только равнобедренной трапеции равны.
Ответ: 2.
№ 24. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
2. Общая точка двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
3. Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
2. Неверно. Если окружности имеют разные радиусы, то точка пересечения будет удалена на величины этих радиусов.
3. Неверно. Площадь любого параллелограмма равна произведению высоты параллелограмма на длину стороны, к которой эта высота проведена.
Ответ: 1.
№ 25. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
2. В параллелограмме есть два равных угла.
3. Основания равнобедренной трапеции равны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Если окружности имеют разные радиусы, то точка пересечения будет удалена на величины этих радиусов.
2. Верно. Противоположные углы в параллелограмме равны.
3. Неверно. При равенстве оснований трапеция превращается в прямоугольник.\
Ответ: 2.
№ 26. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Диагонали ромба равны.
2. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Только, если углы в этом ромбе 90 градусов, но тогда это квадрат.
2. Неверно. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
3. Верно. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
Ответ: 3
№ 27. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Боковые стороны любой трапеции равны.
2. Все квадраты имеют равные площади.
3. Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Боковые стороны только равнобедренной трапеции равны.
2. Неверно. Квадраты имеют равные площади только, если квадраты имеют равные стороны.
3. Верно. Сумма углов в треугольнике 180°, то максимальное значение наименьшего из его углов равно 180:3=60° (случай равностороннего треугольника).
Ответ: 3.
№ 28. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Тангенс любого острого угла меньше единицы.
2. Средняя линия трапеции равна сумме ее оснований.
3. Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Тангенс – это отношение противолежащего катета на прилежащий, при угле 45 градусов тангенс равен 1, а при большем угле, он больше 1.
2. Неверно. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
3. Верно. Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
Ответ: 3.
№ 29. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам.
2. Средняя линия трапеции равна сумме ее оснований.
3. Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Сумма всех углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.
2. Неверно. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
3. Неверно. Вписать в окружность можно только тот параллелограмм, у которого суммы противоположных углов будут равны по 180 градусов.
Ответ: 1.
№ 30. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
2. Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
3. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны друг другу.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда прямой, так как он опирается на дугу 180 градусов и равен ее половине.
2. Неверно. Такого треугольника не существует, так как у треугольника сумма любых 2 сторон больше третьей стороны.
3. Неверно. Они будут параллельны друг другу.
Ответ: 1.
№ 31. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Диагонали параллелограмма равны.
2. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
3. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Диагонали равны у прямоугольника.
2. Верно. Это одна из формул вычисления площади ромба.
3. Неверно. Точный ответ: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
Ответ: 2.
№ 32. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Диагонали ромба равны.
3. Тангенс любого острого угла меньше единицы.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Первый признак подобия треугольников.
2. Неверно. Правильно только для частного случая ромба – квадрата.
3. Неверно. Тангенс – это отношение противолежащего катета на прилежащий, и он больше единицы для острого угла с острым углом более 45 градусов до 90 градусов.
Ответ: 1.
№ 33. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Все диаметры окружности равны.
3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Верно. Все диаметры одной окружности равны.
3. Неверно. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Ответ: 2.
№ 34. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Через заданную точку на плоскости можно провести единственную прямую.
2. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
3. Внешний угол треугольника больше не смежного с ним угла.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Через заданную точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых.
2. Верно. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
3. Верно. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего, с ним не смежного. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных.
Ответ: 23.
№ 35. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
2. Всегда один из смежных углов – острый, а другой тупой.
3. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую параллельную данной.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
2. Неверно. Оба угла могут быть прямыми, т.е. равны 90 градусам.
3. Верно. Аксиома планиметрии.
Ответ: 3.
№ 36. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны друг другу.
2. Треугольник со сторонами 1, 2. 4 существует.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Согласно одному из признаков параллельности прямых две прямые, перпендикулярные третьей прямой, будут параллельны между собой.
2. Неверно. Такого треугольника не существует, так как у треугольника сумма любых 2 сторон больше третьей стороны.
3. Верно. Сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусам.
Ответ: 3.
№ 37. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Диагонали ромба равны.
2. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Правильно только для частного случая ромба – квадрата.
2. Неверно. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
3. Верно. Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Ответ: 3.
№ 38. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
2. Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
3. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
2. Неверно. Диагонали любого прямоугольника не делят его на 4 равных треугольника, поскольку у прямоугольника одна сторона больше другой, то получим две пары равных треугольников.
3. Неверно. Косинус острого угла – это отношение прилежащего катета на гипотенузу.
Ответ: 1.
№ 39. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
2. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Расстояние от любой точки на окружности до центра равно радиусу.
2. Верно. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
3. Неверно. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Ответ: 12.
№ 40. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Все углы ромба равны.
2. Если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого четырехугольника, то такие четырехугольники равны.
3. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. У ромба равны все стороны, а углы попарно равны.
2. Неверно. Четырехугольники могут иметь равные стороны, но разные углы.
3. Верно. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Ответ: 3.
№ 41. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
2. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
3. Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Это утверждение верно для параллелограмма и прямоугольника, но не для трапеции.
2. Неверно. Косинус острого угла треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
3. Верно. Расстояние от центра до любой точки, лежащей на окружности равно радиусу.
Ответ: 3.
№ 42. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
2. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Это свойство прямоугольника и ромба.
2. Неверно. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей, умноженного на синус угла между ними.
3. Верно. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен половине дуги, размер которой 180 градусов.
Ответ: 3.
№ 43. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1. Площадь ромба равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними.
2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3. Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Площадь ромба равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними.
2. Неверно. В тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два других угла острые.
3. Верно. Через точку может проходить бесконечное количество прямых.
Ответ: 13.
№ 44. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Боковые стороны любой трапеции равны.
2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
3. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Боковые стороны равнобедренной трапеции равны.
2. Верно. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
4. Неверно. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Ответ: 2.
№ 45. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Боковые стороны любой трапеции равны.
2. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
3. Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Боковые стороны равнобедренной трапеции равны.
2. Верно. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
3. Неверно. Угол, образованный равными сторонами может быть тупым.
Ответ: 2.
№ 46. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Все прямоугольные треугольники подобны.
2. Через заданную точку окружности можно провести только одну прямую.
3. Все диаметры окружности равны между собой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Все прямоугольные треугольники имеют угол 90 градусов, но этого недостаточно для подобия.
2. Неверно. Через любую точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых.
3. Верно. Все диаметры одной окружности равны между собой.
Ответ: 3.
№ 47. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Любой прямоугольник модно вписать в окружность.
3. Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Касательная с радиусом образуют угол в 90 градусов.
2. Верно. Любой выпуклый четырёхугольник, сумма противоположных углов которого равна 180 градусов, можно вписать в окружность.
3. Неверно. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Ответ: 2.
№ 48. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
2. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности прямой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Диагонали прямоугольника и ромба пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
2. Неверно. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
3. Верно. Рассматриваемый угол является вписанным в окружность и опирается на дугу, равную 180°, он равен половине градусной меры этой дуги.
Ответ: 3.
№ 49. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.
2. Смежные углы всегда равны.
3. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является высотой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Верно. Только в квадрате диагонали равны и перпендикулярны.
2. Неверно. Смежные углы равны только, если угол будет равен 45 градусам.
3. Неверно. Только биссектриса, проведенная к основанию является медианой и высотой.
Ответ: 1.
№ 50. Какое из следующих утверждений являются истинным высказыванием?
1. Если угол острый, то смежный угол также будет острым.
2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
3. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1. Неверно. Сумма смежных углов равна 180°, следовательно, если один из смежных углов острый (<90°), то другой - тупой (>90°).
2. Верно. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.
3. Неверно. Касательная с радиусом образуют угол в 90 градусов.
Ответ: 2.
Подписываемся и решений будет больше.