Найти в Дзене
проблема близнецов и другие бинарные проблемы
67 подписчиков

О бинарной проблеме Эйлера-Гольдбаха в теории чисел. Кочкарев Б. С.

25
1 мин
В теории чисел с 18 века (1742) оставалась открытой проблема Эйлера-Гольдбаха о представлении любого четного числа n, начиная с 4, в виде суммы двух простых чисел. В 1742 году Христиан Гольдбах академик Петербургской Академии наук в письме к другому академику той же Академии наук Леонарду Эйлеру задал вопрос о тернарной проблеме, представлении любого нечетного числа большего 5 в виде суммы трех простых чисел. Эйлер в ответном письме Гольдбаху сформулировал бинарную проблему о представлении любого четного числа, начиная с 4, в виде суммы двух простых чисел, при этом Эйлер добавил, что он уверен, что это теорема, но он не смог ее доказать. С этих пор появились в теории чисел две открытые математические проблемы, тернарная и бинарная. Что касается тернарной проблемы, то она, наконец, в 2013 году была решена перуанским математиком Гельфготтом не очень легким способом. Эйлер догадался при условии решения бинарной проблемы решить эффективно тернарную проблему. Наконец, 1 августа 2022 го

В теории чисел с 18 века (1742) оставалась открытой проблема Эйлера-Гольдбаха о представлении любого четного числа n, начиная с 4, в виде суммы двух простых чисел. В 1742 году Христиан Гольдбах академик Петербургской Академии наук в письме к другому академику той же Академии наук Леонарду Эйлеру задал вопрос о тернарной проблеме, представлении любого нечетного числа большего 5 в виде суммы трех простых чисел. Эйлер в ответном письме Гольдбаху сформулировал бинарную проблему о представлении любого четного числа, начиная с 4, в виде суммы двух простых чисел, при этом Эйлер добавил, что он уверен, что это теорема, но он не смог ее доказать. С этих пор появились в теории чисел две открытые математические проблемы, тернарная и бинарная. Что касается тернарной проблемы, то она, наконец, в 2013 году была решена перуанским математиком Гельфготтом не очень легким способом. Эйлер догадался при условии решения бинарной проблемы решить эффективно тернарную проблему.

Наконец, 1 августа 2022 года нами была решена бинарная проблема Эйлера-Гольдбаха и следовательно, учитывая догадку Эйлера эффективно решена тернарная проблема Гольдбаха.

Лемма. Для любого четного числа n > 6 найдется пара простых чисел p < n : 2, p' > n : 2 таких, что p + p' = n.

Доказательство. Первое такое четное число есть 8. Очевидно, 8 = 3 + 5, 3 < 4, 5 > 4. Второе такое число есть 10. Очевидно, 10 = 3 + 7, 3 < 5, 7 > 5. Третье такое число есть 12. Очевидно, 12 = 5 + 7, 5 < 6, 7 > 6. Предположим для достаточно большого четного числа n > 6 это утверждение верно, а для четного числа n + 2 нет, т. е. для четного числа n + 2 нет пары простых чисел p, p', p < ( n + 2 ) : 2, p' > (n + 2) : 2 таких, что p + p' = n + 2. Тогда по нашей аксиоме спуска [ 1 ] и для n не найдется такой пары простых чисел p, p', а это противоречит нашему индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает лемму. Принимая во внимание, сто 6 = 3 + 3, а 4 = 2 + 2, мы тем самым доказали бинарную проблему Эйлера-Гольдбаха.

Литература:

1. Кочкарев Б. С. К методу спуска Ферма. Проблемы современной науки и образования Problems of modern science and education. 2015 №11(41) с. 7 - 10.

1