Коллоквиум Матанализ
1.Определение множества А
Множество A определяется как совокупность элементов, обладающих некоторым общим признаком или удовлетворяющих некоторому общему правилу.
Формальное определение множества часто записывается в математике следующим образом:
Множество A состоит из элементов, обозначаемых маленькими буквами a, и обычно записывается в фигурных скобках:
A= {a1, a2, a3,…}.
Где a1, a2, a3,… - элементы множества A. Элементы множества могут быть числами, буквами, объектами или другими сущностями, которые соответствуют общему критерию.
Множество может быть описано также с использованием условия или характеристического свойства, которое должны удовлетворять его элементы:
A={x∣описание условия для x}.
Например, множество всех натуральных чисел можно записать как:
N={x∣x - натуральное число}.
Важно заметить, что в множестве каждый элемент уникален, и он может входить в множество только один раз. Таким образом, если a1 и a2 равны, то они считаются одним и тем же элементом множества.
2. Перечисление элементов множества
Перечисление элементов множества представляет собой простое перечисление всех элементов, которые входят в это множество. Это может быть сделано внутри фигурных скобок. Вот пример перечисления элементов множества:
Пусть дано множество A, которое содержит несколько чисел:
A = {1,2,3,4,5}.
В этом примере, множество A содержит пять элементов: 1, 2, 3, 4 и 5. Это простой способ представления конкретных элементов множества
Элементы множества могут быть числами, буквами, объектами или другими сущностями, которые соответствуют общему определению или условию, заданному для этого множества. Важно помнить, что элементы множества должны быть уникальными, и каждый элемент может входить в множество только один раз.
Теорема 1.
Число всевозможных перестановок из n элементов можно вычислить как n! или Pn. Здесь "n!" (произносится как "эн факториал") обозначает факториал числа n и представляет собой произведение всех целых чисел от 1 до n.
Формула для вычисления факториала выглядит следующим образом: n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1
Биномы – Многочлены, являющиеся суммой двух слагаемых. Формула для n-й степени бинома a + b:
Теорема 3. Всякая система вложенных числовых отрезков имеет непустое пересечение.
Теорема 4(теорема Кантора). Для любой последовательности вложенных отрезков [an, bn], где n = 1, 2, ..., таких, что длины отрезков стремятся к нулю (т.е., limn->∞ bn - an = 0), существует единственная точка ξ, которая принадлежит всем отрезкам данной системы.
Теорема 5. Множество всех рациональных чисел счетно.
Теорема 6. Множество всех действительных чисел несчетно.
Теорема 7. Последовательность точек расширенной числовой прямой R может иметь на этой прямой только один предел.
Теорема 8. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Теорема 9(Beйepштpacc). Пусть {xn} - возрастающая числовая последовательность (т.е., xn <= xn+1 для всех n), и пусть существует верхняя грань (супремум) этой последовательности, то есть sup {xn} существует.
Тогда:
1) Если sup {xn} конечен (т.е., ограничен сверху), то предел последовательности {xn} также конечен, и он равен sup {xn}.
2) Если sup {xn} бесконечен (т.е., неограничен сверху), то предел последовательности {xn} равен бесконечности, и можно записать lim xn = ∞.
То есть, теорема Вейерштрасса утверждает, что для возрастающей последовательности, если верхняя грань существует и конечна, то последовательность сходится к этой верхней грани. Если верхняя грань бесконечна, то последовательность также сходится, но к бесконечности.
Теорема 10. Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из любой неограниченной сверху (неограниченной снизу) числовой последовательности — последовательность, имеющую своим пределом +∞ (соответственно −∞).
Теорема 11. (критерий Коши). Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.
Теорема 12. Определения 1(основное определение предела функции) и 6(определение через точку прикосновения) предела функции в точке прикосновения множества задания функции равносильны.
3. Способ определения множества на основе его характеристического свойства
Способ определения множества на основе его характеристического свойства включает в себя описание множества с использованием условия или характеристического признака, который определяет, какие элементы входят в это множество. Этот способ часто называется "характеристическим описанием" или "условным определением множества". Он может быть записан следующим образом:
Если множество A состоит из всех элементов, обладающих определенным характеристическим свойством P, то A можно описать как:
A = {x∣x обладает характеристическим свойством P}.
Здесь x - это переменная, представляющая элементы множества A, а условие x обладать характеристическим свойством P определяет, какие элементы входят в множество. В простых словах, это означает, что множество A состоит из всех элементов, которые удовлетворяют определенному условию или характеристическому признаку.
Примеры:
Множество всех четных натуральных чисел можно определить как A = {x∣x является четным натуральным числом}.
Множество всех красных машин на парковке можно определить как B={y∣y является красной машиной}.
4. Операции и связи
Операция сложения: Сложение — это бинарная операция, которая объединяет два элемента (числа, векторы и т. д.) и возвращает их сумму. В алгебре, сложение выполняется с помощью оператора "+". Например, a+b обозначает сумму чисел a и b.
Операция умножения: Умножение также является бинарной операцией, которая объединяет два элемента и возвращает их произведение. Умножение может быть обозначено разными символами, такими как "*", "·" или даже без символа. Например, a⋅b или ab обозначают произведение чисел a и b.
Связь сложения и умножения: В алгебре существуют свойства, которые связывают сложение и умножение. Эти свойства включают в себя распределительные законы, ассоциативность, коммутативность и другие. Например, закон дистрибутивности гласит, что умножение распределено относительно сложения: a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c.
Свойство упорядоченности: Свойство упорядоченности связано с упорядоченными множествами или числами. Оно определяет порядок элементов в множестве. Например, на числовой прямой, элементы могут быть упорядочены от меньшего к большему, и это свойство упорядоченности описывает их отношения.
Свойство непрерывности: В контексте математического анализа, свойство непрерывности связано с функциями и последовательностями. Непрерывная функция означает, что она не имеет разрывов или прерываний на определенном интервале, и она сохраняет близкие значения близкими. Это свойство является ключевым в анализе, и оно связано с понятием предела и непрерывности функций.
5. Определения
Определение 1: Множество действительных чисел – нетривиальное множество элементов, обладающих свойствами (пункт 4)
Определение 2: Множество действительных чисел называют непрерывным упорядоченным полем (иногда также называемым полем вещественных чисел), потому что оно обладает несколькими важными свойствами:
1) Упорядоченность: Множество действительных чисел упорядочено так, что для любых двух чисел a и b либо a<b, либо a=b, либо a>b. Это означает, что числа можно располагать на числовой прямой в порядке возрастания.
2) Алгебраическая структура: Действительные числа образуют поле, что означает, что над ними определены операции сложения и умножения, и эти операции удовлетворяют определенным алгебраическим свойствам, таким как ассоциативность, коммутативность и распределительный закон.
3) Полнота: Множество действительных чисел также обладает свойством полноты. Это означает, что всякое непустое ограниченное сверху (или снизу) подмножество действительных чисел имеет точную верхнюю (или нижнюю) грань. Это свойство непрерывности делает множество действительных чисел основой для математического анализа.
4) Архимедовость: Действительные числа удовлетворяют архимедовому свойству, что означает, что для любого положительного числа x существует такое натуральное число n, что nx больше, чем любое данное действительное число. Это свойство подразумевает, что множество действительных чисел не имеет бесконечно больших или бесконечно малых элементов.
Определение 3. Множество всех элементов x + yi, в котором заданы операции сложения, вычитания, умножения и деления согласно выше сформулированным правилам, называется множеством комплексных чисел, а каждый его элемент — комплексным числом.
Определение 4. Группы элементов, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов.
(cosϕ + isin ϕ) n = cos nϕ + isin nϕ. Эта формула называется формулой Муавра
Определение 5. Каждое множество, содержащее m элементов из числа n заданных, называется сочетанием из n элементов по m.
Определение 6. Длины отрезков bn - an отрезков [an, bn], где an и bn являются действительными числами (вещественными числами), называются стремящимися к нулю (или "сходящимися к нулю"), если для данной последовательности отрезков выполняется следующее условие:
Для любого положительного числа ε (эпсилон), существует такой номер N (натуральное число), что для всех n >= N выполнено неравенство:
|bn - an| < ε
Это означает, что при увеличении номера n (то есть, при движении вдоль последовательности отрезков), разница между bn и an становится сколь угодно маленькой (меньше чем ε). Другими словами, длины отрезков стремятся к нулю, так как они становятся сколь угодно маленькими по модулю, при достаточно больших n.
Определение 7. Два множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), называются равномощными.
Определение 8. Множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным.
Определение 9. Конечная или бесконечно удаленная точка числовой прямой называется пределом некоторой числовой последовательности действительных чисел, если какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.
Определение 10. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся.
Определение 11. Последовательность, пределом которой является бесконечность (со знаком или без знака), называется бесконечно большой.
Определение 12. Точка a расширенной числовой прямой называется пределом последовательности точек этой прямой, если какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.
Определение 13. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу).
Определение 14. Пусть {xn} и {yn} — числовые последовательности. Тогда числовая последовательность {xn + yn} называется их суммой {xn} + {yn}, {xn − yn} — их разностью {xn}−{yn}, {xnyn} — их произведением {xn}{yn}, а если для всех номеров n выполняется неравенство yn = 0, то последовательность xn/ yn называется частным {xn} /{yn} данных последовательностей.
Определение 15. Числовая последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой.
Определение 16. Верхняя (нижняя) грань множества значений числовой последовательности {xn} называется верхней (нижней) гранью этой последовательности и обозначается sup {xn} (соответственно inf {xn}).
Определение 17. Предел, конечный или определенного знака бесконечный, подпоследовательности числовой последовательности называется частичным пределом этой последовательности.
Определение 18. (Критерий Коши) Числовая последовательность {xn}, n = 1, 2, ..., называется фундаментальной последовательностью, если она удовлетворяет следующему условию: для любого ε > 0 существует такой номер n0, что для всех n>n0 и m>n0 выполняется неравенство |xn − xm| < ε.
Определение 19.
Для любой последовательности точек xn, где каждая точка xn принадлежит множеству X, и n = 1, 2, ..., и где предел этой последовательности равен x0 (т.е., lim xn = x0), выполняется условие:
limn->∞ f(xn) = a
Это означает, что предел функции f(x) в точке x0 равен числу a, если для любой последовательности точек xn, сходящейся к x0, предел последовательности значений функции f(xn) равен a.
Определение 20. Точка x0 называется точкой прикосновения (или точкой сгущения) множества X, если существует последовательность xn, каждый элемент которой принадлежит множеству X (xn ∈ X) и имеет предел, равный x0, то есть:
lim n->∞ xn = x0
Определение 21. проколотой ε-окрестностью (или проколотым окрестом) точки x0 называется множество, которое получается удалением самой точки x0 из её ε-окрестности.
◦ U(x0, ε) = U(x0, ε) \ {x0}
Определение 22. Если limx→x0 f(x) = f(x0), то функция f(x) называется непрерывной в точке x0.
Определение 23. Точка a называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x0, и обозначается limx→x0 f(x) = a, если для любой окрестности U(a) точки a существует такая окрестность U(x0) точки x0, что все значения функции f(x), где x принадлежит пересечению множеств X и U(x0), лежат в окрестности U(a).
Определение 24. Числовую последовательность {an} называют возрастающей (строго возрастающей), если для любых индексов n и m, таких что n<m, выполняется неравенство:
an<am
Определение 25. Числовую последовательность {an} называют убывающей (строго убывающей), если для любых индексов n и m, таких что n<m, выполняется неравенство:
an>am
6. Теорема о пределе множества
Теорема о пределе множества: если существует предел последовательности элементов множества, и этот предел равен числу L, то L также является пределом множества.
Более формально, пусть A - множество, и для каждого элемента a∈A существует предел limx→af(x)=L, где f(x) - некоторая функция. Тогда, если limx→af(x)=L для всех a∈A, то limx→af(x)=L для a∈A, то есть L является пределом множества A.
Эта теорема означает, что если для каждого элемента множества A существует предел функции f(x), и все эти пределы сходятся к одному и тому же числу L, то L также будет пределом множества A.
6.1 Теорема о существовании верхней границы множества
Теорема о существовании верхней границы множества: Если множество A ограничено сверху (т.е., существует такое число M, что a≤M для всех a∈A), то существует верхняя граница B для множества A. Верхняя граница B - это такое число, что a≤B для всех a∈A, и она является наименьшей из верхних границ множества A.
Иными словами, теорема утверждает, что если множество ограничено сверху, то оно имеет наименьшую из верхних границ, которая называется верхней границей. Эта верхняя граница может быть или не быть частью самого множества A.
Пример:
Пусть A={x∈R∣x≤5}. Множество A ограничено сверху числом 5. Верхняя граница этого множества равна 5, и она также является частью множества A, так как в данном случае она является максимальным элементом этого множества.
6.2 Теорема о существовании нижней границы множества:
Теорема о существовании нижней границы множества: Если множество A ограничено снизу (т.е., существует такое число m, что m≤a для всех a∈A), то существует нижняя граница b для множества A. Нижняя граница b - это такое число, что b≤a для всех a∈A, и она является наибольшей из нижних границ множества A.
Теорема о существовании нижней границы утверждает, что если множество ограничено снизу, то оно имеет наибольшую из нижних границ, которая называется нижней границей.
Пример:
Пусть B={x∈R∣x≥−3}. Множество B ограничено снизу числом -3. Нижняя граница этого множества равна -3, и она также является частью множества B, так как в данном случае она является минимальным элементом этого множества.
10.1
Если даны последовательности an и bn такие, что:
limn→∞an=a
limn→∞bn=b
то тогда можно утверждать следующее относительно пределов их суммы и разности:
1) Предел суммы: limn→∞(an+bn)=a+b. Это означает, что предел суммы двух последовательностей равен сумме их пределов.
2) Предел разности: limn→∞(an−bn)=a−b. Это означает, что предел разности двух последовательностей равен разности их пределов.
То есть, пределы суммы и разности последовательностей равны сумме и разности их пределов соответственно.
10.2
Если даны последовательности an и bn такие, что:
limn→∞an=a
limn→∞bn=b
то можно утверждать следующее относительно предела их произведения:
Предел произведения: limn→∞(an⋅bn)=a⋅b.
Это означает, что предел произведения двух последовательностей равен произведению их пределов. То есть, если последовательности an и bn имеют пределы a и b, соответственно, то предел их произведения равен произведению a и b.
10.3
Если даны последовательности an и bn такие, что:
limn→∞an=a
limn→∞bn=b
и b является ненулевой величиной (b ≠0), то существует предел частного последовательности an и bn, который равен частному пределов a и b:
limn→∞an/bn=a/b
Это означает, что предел частного двух последовательностей равен частному пределов этих последовательностей, при условии, что знаменатель (bn) не стремится к нулю. Важно отметить, что деление на ноль недопустимо, и поэтому предполагается, что b не равно нулю.
11.1
1) Связь между бесконечно большими величинами: если последовательность an стремится к бесконечности, это записывается как limn→∞an=∞, что означает, что члены последовательности становятся все больше и больше по мере увеличения n. Если такая последовательность умножается на ограниченную последовательность bn, то произведение может сходиться к бесконечно большой величине:
limn→∞(an⋅bn)=∞, где limn→∞bn - ограниченная последовательность.
2) Связь между бесконечно малыми величинами: если последовательность cn стремится к нулю, это записывается как limn→∞cn=0, что означает, что члены последовательности становятся все меньше и меньше по мере увеличения n. Если такая последовательность умножается на бесконечно большую последовательность an, то произведение также может сходиться к бесконечно малой величине:
limn→∞(cn⋅an)=0, где limn→∞an - бесконечно большая последовательность.
12.1(Теорема)
Пусть дана возрастающая последовательность {an}, и она ограничена сверху. Если последовательность ограничена сверху, это означает, что существует такое число M, что для всех n выполняется an≤M. В таком случае, данная возрастающая последовательность стремится к своей верхней границе, и её предел равен этой верхней границе:
lim n→∞an=sup{an}
12.2(Теорема)
Пусть дана возрастающая последовательность {an}, и она не ограничена сверху. Если последовательность не ограничена сверху, это означает, что для любого числа M найдется такой член an, который больше M. В этом случае, данная последовательность считается стремящейся к плюс бесконечности:
lim n→∞an=+∞
Леммы
Лемма 1. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Лемма 2. Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.
Лемма 3. Любой отрезок множества действительных чисел состоит из несчетного множества точек.
Лемма 4. Числовая последовательность {xn} имеет конечный предел, равный числу a, тогда и только тогда, когда последовательность разностей {xn - a} стремится к нулю.
Лемма 5. Если последовательность имеет конечный предел, то она фундаментальная.
Лемма 6. Если последовательность фундаментальная, то она ограниченная.
Лемма 7. Если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то ее предел является и пределом всей последовательности
Лемма 8. если существует предел lim xn = a и lim nk = ∞ (то есть последовательность nk стремится к бесконечности), то предел последовательности xnk равен a.
Лемма 9. Для того чтобы функция f(x), x ∈ X, имела конечный или (определенного знака) бесконечный предел в точке x0, которая является конечной или бесконечно удаленной точкой прикосновения множества X, необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
Для любой последовательности xn, где xn → x0, xn ∈ X, n = 1, 2, ..., последовательность соответствующих значений {f(xn)} функции f должна иметь предел, который является конечным или (определенного знака) бесконечным.