Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье мы с Вами поговорим о двойных интегралах. Понять что это такое и как им пользоваться порой бывает затруднительно. А между тем ничего сложного в двойных интегралах нет. Если обычный интеграл – это площадь, то двойной – это объем. Рассмотрим самый простой случай, когда фигура (а вернее сказать модель или тело) представлена в виде параллелепипеда.
Как найти объем мы знаем:
V=Длина (x) х Ширина (у) х Высота (z) = S х z.
При формировании двойного интеграла формула используется та же, но приобретает другой вид: используется зависимость одной координаты точки от другой. Насколько мы помним, для площади, то есть для простого интеграла использовалась такая зависимость:
Мы должны понимать, что если можно найти зависимость игрека от икса, то и зависимость z от игрека найти можно. В таком случае объем можно найти также через интеграл:
В чем смысл этой формулы:
1. Мы делим фигуру на кусочки с основанием dS(прямоугольники со сторонами dx и dy, то есть dS=dx * dy),
2. У каждого кусочка своя высота Z,
3. Высота каждого кусочка зависит от игрека и как следствие от икса,
4. Сумма объемов кусочков, на которые нарезана фигура, определяет объем всей фигуры.
То есть для самого простого случая (параллелепипеда):
Конечно же правильнее (и привычнее) будет записать вот так:
А теперь очень интересное замечание: Любой интеграл, как обычный, так и двойной, может быть отрицательным. Как же так, спросят многие, ведь мы установили, что простой интеграл – это площадь фигуры под кривой, а двойной интеграл – это объем «3Д-модели», образованной совокупностями кривых? Всё очень просто: знак показывает положение фигуры или модели в декартовой системе координат. Увидеть это можно, если проанализировать пределы интегрирования.
Интегрировать начинаем конечно же (как бы это странно ни звучало) с интеграла, находящегося под знаком интеграла, то есть в нашем случае с функции Z (Для рассматриваемого примера не столь важен порядок интегрирования, так как взятое для примера тело – параллелепипед, то есть в его продольном и поперечном сечениях отсутствуют фигуры кроме прямоугольников).
Рассмотрим другой пример. На мой взгляд, он позволит более «качественно» понять принцип формирования двойного интеграла:
Заметьте, я не написал, что тело ограничено функцией f1 в плоскости Х0У и функцией f2 в плоскости, допустим X0Z. Это потому что точки, образующие тело лежат в плоскостях, отстоящих друг от друга на расстояние dx и dy. Если Вы не читали статьи про простой интеграл и представление тела в трёхмерном виде, то самое время это исправить: информация, приведенная в них, поможет Вам «переварить» то, что мы делаем сейчас.
Итак, вдоль икса тело будет «нарезано» через каждые dx:
По игреку, соответственно, через каждый dy:
Как мы уже говорили dx и dy очень малы. Меньше уже некуда. Чтобы было понятнее: возьмём лист бумаги и поставим на нём маленькую точку.
Она настолько маленькая, что мы даже не знаем её формы (микроскоп использовать не будем – это лишнее). Примем её форму за прямоугольник со сторонами dx и dy. Теперь возьмём линейку и построим линию, скажем, длиной в 1 см:
Примем условие, что линия направлена вдоль оси игрека.
Как думаете, сколько точек в этой линии? Вроде бы ничего сложного:
Так как точка – самое наименьшее что может быть построено, а dy– самое маленькое из возможных значение для игрека (не путаться: именно что только для игрека!), то количество dyпокажет нам игрековую координату рассматриваемой точки. Рассмотрим нашу линию образно:
Я специально разграничил линию таким образом, чтобы вы понимали, что dx и dy в большинстве случаев – разные величины.
А теперь усложним задачу: найдите площадь этой линии. Думаете я шучу? Ни в коем разе! Сделать это по силам даже учащимся начальной школы. По своей сути линия – тот же прямоугольник, а значит её «площадь равна дине-на-ширину»:
Сформируем простой интеграл? Для этого нужно установить как игрек зависит от икса. Так как в качестве фигуры у нас линия, параллельная игреку, то можно сделать вывод, что в подынтегральной функции у нас константа (игрек от икса не зависит никак). В качестве нижнего предела у нас будет 0. Интегрировать будем по игреку (для начала). Поэтому верхний предел будет определяться длиной линии. Применяем:
Как уже говорил, dx в этом выражении – константа, ширина линии, её мы можем спокойно вынести за интеграл:
Для тех, кто не понял почему так, объясняю: у нас есть линия, состоящая из N точек, мы знаем длину точки, она равна dyи знаем ширину точки, она равна dx. Длина линии определяется количеством точек, а ширина равна ширине точки. То есть длина – изменяемый параметр, переменная, равная N*dy, а ширина – константа, вычислять её значение нам не нужно, мы его и так знаем.
Решая интеграл мы получим ту же формулу, которую получили и раньше:
Возможно, будет понятнее, если за длину мы возьмём переменную а, а за ширину переменную b (в этом случае b=dx):
Теперь подумаем, что бы мы получили, если бы интегрировали не по игреку, а по иксу. В этом случае под интегралом переменная N*dy, не зависящая от икса, то есть с точки зрения интеграла – это константа. Нижний предел интегрирования также 0. А вот верхний определится максимальным значением икса, то есть будет равен dx. Формируем интеграл:
Выносим «константу» за знак интеграла:
Для чего мы начали разбираться с формированием простого интеграла? Представьте, что нам оказалось мало одной линии и мы взяли линейку и вплотную к ней построили точно такую же линию:
Найдём её площадь. Будем интегрировать по иксу, так как-то привычнее: функция под интегралом та же, а вот верхний предел изменится:
А теперь представьте, что у нас не простая шариковая ручка, а 3Д. Проведём линию поверх последней:
Найдём его объём? Не получится, пока не введём ещё одну константу. Мы начали перемещаться вдоль третьей оси. Традиционно это ось Z. Для дальнейших действий нужно установить, чему равна высота одной линии. Теперь наша точка обретает третий параметр. Высоту мы назовём dz, то есть это самое маленькое смещение по Z из всех возможных. Если в построенном теле у нас всего будет, скажем K точек, то его объём будет равен:
Это один из вариантов того, как мы можем найти объём: посчитать количество элементарных единиц, которые входят в его состав и объем которых мы уже знаем.
Второй вариант – разбить всё тело на полоски с высотой dzи шириной dx, найти объёмы каждой из полосок, а затем просуммировать их.
Третий вариант: разбить тело на «столбики». При этом высота столбика получится кратной dz.
В основании каждого столбика лежат одинаковые прямоугольники со сторонами dx и dy. То есть, можно сказать, что столбики – это линии, но не лежащие на поверхности горизонтально, а выстроенные из точек вертикально, как бы «складываемых» друг на друга, параллельно оси Z. Опишем наше тело с помощью этих «столбиков».
В диапазоне значений от 0 до dx столбики располагаются от 0 до N*dy и имеют высоту dz.
В диапазоне значений от dx до 2dx столбики располагаются также от 0 до N*dy, но при этом имеют высоту 2dz. Запишем это как положено:
Диапазоны в скобках ни что иное, как пределы интегрирования. Давайте найдём объём через интеграл двумя способами: первым, простым, чтобы было понятно, а вторым – более сложным и более близким к действительности, чтобы понять как положено решать. Начинаем с простого: у нас будет сумма двух двойных интегралов:
Как мы сформировали интегралы: разбираемся. Рассмотрим первый двойной интеграл. В качестве подынтегрального выражения выступает простой интеграл по иксу:
dy для этого выражения – константа, поэтому мы можем вынести её за знак интеграла. dx - само собой остается под интегралом, потому что мы по нему интегрируем. Но что такое dz? Это подынтегральная функция, которая, поидее, должна зависеть от икса и игрека, но в нашем случае, мы сделали её константой, как и dy. Поэтому и вторую константу выносим за знак интеграла (а точнее за оба):
Решая данный интеграл мы получим объём первого ряда столбиков.
Для второго двойного интеграла всё также:
Общий объём:
Какие могут возникнуть ошибки?
Мы рассмотрели формирование двойного интеграла с точки зрения «понятности». Теперь сделаем это с точки зрения «правильности». Здесь мы должны снова посмотреть на двойной интеграл в общем виде:
Видите? Функция z(x, y). Для того, чтобы упростить понимание интеграла, мы сделали высоту столбиков константой и не стали искать её зависимости от «координат» основания столбиков по иксу и игреку. А найти эту зависимость очень просто: от игрека z не зависит, а вот от икса очень даже:
Однако, на первый взгляд, верная попытка является не такой уж и верной с точки зрения интеграла.
«Ну и как тут что-то можно понять?», скажете Вы. Ещё раз поясняю: – самая маленькая высота столбика, которая только может быть, то есть это высота точки, а dx– самая маленькая ширина, то есть ширина точки. Совместно с этим, dx, dy и dz – наименьшие координатные отсчёты, которые мы применяем в декартовой системе. Чтобы устранить путаницу назовём высоту точки буковкой h (измеряется в dz), ширину буковкой k (измеряется в dx), длину буковкой t (измеряется в dy). Тогда подынтегральное выражение запишется вот так:
Вот, теперь видно, что длина, ширина и высота точки – это константы. Формируем двойной интеграл:
Решаем простой интеграл, находящийся в подынтегральной функции двойного интеграла:
Неожиданно, правда? Давайте проанализируем ту функцию, которую составили для поперечного сечения тела:
Более того: функция, хоть и не позволяет верно выполнить вычисления, ПРАВИЛЬНАЯ! Потому что dx и dz – ширина и высота точки с координатами (x,y,z). То есть, первая точка, лежащая выше и правее нуля, имеет координаты (dx, dy, dz), правее и выше лежит точка с координатами (2dx, dy, 2dz). Под линией из двух этих точек лежит третья, с координатами (2dx, dy, dz).
Отсюда появляется важное замечание: Данный интеграл однозначно верно вычислить невозможно по той причине, что вычисляемые величины сопоставимы по размеру величине точек, из которых они построены. То есть при вычислении интеграла две точки как бы режутся пополам линией, которую сами же и образуют (немыслимо...):
Отсюда следует закономерный вывод: правильно – не всегда выполнимо, а если и выполнимо, то правильно только отчасти.
Рассмотренный пример позволяет сделать «зарубку в памяти»: если фигура сопоставима по размеру с точкой, при этом больше точки, то результат вычисления интеграла от функции, которая ограничивает эту фигуру на плоскости, не может быть однозначно верным.
Подводим итоги:
1. Двойной интеграл – объём;
2. Знак перед результатом вычисления интеграла указывает на область пространства, в которой располагается тело или фигура;
3. Объёмы, сопоставимые по размеру с dx*dy*dz не всегда можно вычислить с высокой степенью достоверности.
Теперь вернёмся к телу, приведенному на рисунке 2, найдём его объём и благополучно завершим нашу статью.
Вот и всё: вычисляем площадь основания столбика dxdyи умножаем на его высоту, а затем находим сумму получившихся объёмов.
Чтож, основы мы рассмотрели! Надеюсь, что данная «мини-лекция» была Вам полезной и показалась интересной. Спасибо, что читаете. Удачи в учёбе и труде!
