Задача: В окружность радиуса 5 вписана трапеция с боковой стороной, равной 8. Найдите радиус окружности, проходящей через концы боковой стороны трапеции, и точку пересечения её диагоналей.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим трапецию ABCD: трапеция может быть вписанной только в том случае, если данная трапеция равнобедренная ⇒ ABCD - равнобедренная трапеция ⇒ по св-у р/б трапеции ∠BDA = ∠CAD, обозначим их углами α (см рисунок)
В бо́льшей окружности по теореме синусов для хорд sin α = 8/5R = 8/10 = 4/5 ⇒ cos α = √(1 - cos^2 α) = 6/10 = 3/5.
По теореме о внешнем угле ∠AEB = 2α. В меньшей окружности по теореме синусов для хорд r = 8/2sin 2α = 8/4sin α * cos α = 8/(4* 4/5 * 3/5) = 200/48 = 25/6.
Ответ: 25/6.
Задача решена.